(이 글은 제가 4년 전에(...) 썼던 글을 말투, 내용 조금 바꿔서 올리는 거예요.)
이번엔 해석적 정수론에 대한 간단한 설명과 함께 간단한 notation을 소개할 거예요!!
해석적 정수론은 역사적으로 볼 때 Dirichlet이 Dirichlet's Theorem을 증명하면서 처음 탄생했다고 전 생각해요. Euler도 있지만, 그 땐 해석적 정수론이 따로 있다기보단 그냥 Euler 짱짱(...)이 끝.
(Dirichlet's Theorem은 아직까지 해석적 정수론 없이 증명한 적이 없어요. 공차가 3,4,8인 case는 quadratic residue하고 Euclid의 방법으로 어떻게든 변태같이(...) 해주면 되고 나머지가 1인 case는 cyclotomic extension을 생각하면 되는데, 나머지는 저로선 잘 모르겠어요.)
그리고 1850년대 Riemann이 쓴 한 편의 논문은 해석적 정수론에 복소해석을 도입하는 계기가 되고 19세기 말 그 당시 해석적 정수론의 난제 소수 정리가 해결되면서 해석적 정수론은 엄청난 발전을 하게 돼요. 현재는 해석적 정수론에는 일부 함수해석을 제외한 대부분의 해석학이 쓰인...다고 알고 있어요.
해석적 정수론은 말 그대로 해석학과 여러 계산 테크닉을 이용한 정수론인데 그렇다고 해석학의 일부는 아니에요. 이것도 엄연한 정수론이고, 묶인다면 해석학보단 대수정수하고 더 자주 묶여요. 계산을 보면 냄새가 확 다르단 느낌...?? 하지만 해석학적 테크닉을 엄청 많이 쓰게 되는데 예를 말하자면 적분으로 바꾸고 부분적분, Fourier transform을 식이 있을 때마다 계속 때리거나 정수론 문제를 복소해석 문제로 바꾸는 것 등등등... 등등등등....... 그리고 해석적 정수론을 하려면 계산 테크닉이 좀 좋아야 할 거... 맞나??
그리고 의외로 처음에는 선행과목이 거의 없는 특징도 있어서 그 때문에 처음 대학수학을
접하는 초, 중, 고등학생들이 이것을 많이 하는 특성이 있다고 전 생각하고 있어요. 제 경험상 그래요(...)
이제 해석적 정수론의 Topic을 말하자면 크게 "초등적 방법, 복소해석을 이용한 Riemann zeta function과
Dirichlet L function의 연구, Sieve theory, 여러 합에 대한 연구, 대수적 정수론과 이를 동원한
L-function의 연구"라고 생각하는데, 요즘은 해석적 정수론하고 꽤나 멀어져서 모르겠어요(...) 대수적 정수론과 이를 동원한 L-function의 연구는 제가 고1때 써놓은 건데, 이건 해석적 정수론이 아니라 그냥 대수적 정수론으로 분류돼서(...) 애매해요. 쓰는 모양을 보면 category of mixed motives를 생각하는 것이 L-function을 이해하는 가장 좋은 방법이라고 저는 생각해서...
초등적 방법은 (약간 과장해서 말하면)초등학생...은 오바고 고등학교 수학+해석학 조금으로 해석적 정수론을 하는 거예요. 유명한 것으로는 Selberg가 초등적 방법으로 소수 정리를 증명한 거. 근데 Selberg가 결정적으로 이걸로 필즈상을 받은 건진 잘 모르겠네요. Selberg가 업적이 너무 많아가지고... 그리고 요즘 생각이긴 한데, 초등적이라는 단어가 조금 애매해서 sieve theory도 참 초등적인데(...) 어떤 걸 초등적이라고 말한다는 건지도 잘 모르겠어요. sieve theory 안 쓰고 고등학교 수학+해석학만 쓰는 거??
쓰고 보니까 이게 정말로 따로 분류해도 되는 건지 모르겠어요(...)
복소해석을 이용한 Riemann zeta function과 Dirichlet L function의 연구는 이 함수들을 연구해서 이 함수들과 정수론 사이를 연결하는 것인데 여러 복소해석의 정리를 쓰게 돼요. 근데 이 쪽 하는 사람을 저로선 딱 한 명밖에 못 봤네요(...) 유명한 것으로는 이것의 연구로 Dirichlet이 해석적 정수론을 탄생시킨 것, 소수 정리의 첫번째 증명. 그리고 수학계에서 가장 유명한 난제 '리만 가설'같은 거.
세번째는 sieve theory로 Mobius function을 조금 refine한 sieve function이라는 것을 정의해서 이것의 upper bound와 lower bound를 구하는 거예요. 이 중에서 가장 복잡한 식과 가장 많은 계산 테크닉을 쓰는 분야라고 4년 전의 저는 생각했는데, 다른 것들도 계산 깨지기는 마찬가지라서(...) (사실상) 최초의 업적으로 Brun이 초보적인 Sieve theory를 개발해서 쌍둥이 소수의 역수들의 합이 유한함을 증명한 것이 있어요.
네 번째는 푸리에 해석도 많이 들어가게 되는데 Character sums나 여러 합에 대해서 다뤄요. 해석학이 가장 많이 쓰이는 분야이고 유명한 것으로는 푸리에 해석과 약간의 함수해석으로 소수 정리가 증명된 것 쯤...이라고 생각했는데 요즘은 이거 Tate thesis 이후로는 그냥 대수적 정수론이라고 생각해요(!!) 그냥 아예 없는 분야(...) 옛날엔... 잘 모르겠어요. 역시 저 말고 해석적 정수론 전공자한테 물어보는 게 빠르겠지ㅇ
다섯 번째는...안 말할래요(...) 그냥 대수적 정수론이라서...
이렇게 쓰고 보니까 은근 해석적 정수론이랑 대수적 정수론 경계가 희미하긴 하네요. sieve theory정도만 확실하게 해석적 정수론이라고 말할 수 있다는 느낌
해석적 정수론은 은근 진집장벽이 낮아요(!!)
처음에는 초등적 방법을 주로 배우기 때문에 누구나 쉽게 이해할 수 있어서 초, 중학생들이 많이 해석적 정수론을 하는 편...이라고 생각하고 있어요. 하지만
가면 갈수록 여러 해석적 테크닉이 점차 많이 쓰이게 되고 그에 따라 점점 어려워지고 저처럼 중간에 포기하는 사람도 생기ㅈ.
그리고 식계산을 참 잘해야 하기 때문에 여러 식을 아주 잘
계산하고 변형할 수 있어야 해요. 식이 엄청 길어지면 식 하나가 세 줄을 채우는 경우도(...) 있어요. 그래서 수학자들은 beamer쓰면 너무 빨리 넘어간다고 다들 beamer보다 분필 좋아하는데 해석적 정수론 혼자 beamer 쓴다고...
이제 해석적 정수론에서 자주 쓰이는 notation을 설명하자면 먼저 $$ \sum_{\cdots}\cdots$$꼴의 합은
'합기호 아래에 있는 조건에 따라 합기호 바로 옆에 있는 ...들을 모두 더하라' 라는 뜻이 돼요. 예를 들면 $$
\sum_{n\in
\mathbb{N}}\frac{1}{n^2}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}
{6}$$하고 p가 항상 소수라면 $$\sum_{p}\frac{1}{p}=\infty$$를 들 수 있어요.
그리고 어떤 함수 f,g,h에 대해서 $$ f=g+O(h)$$라는 것은 충분히 큰 상수 C가 있어서 $$
|f-g|<C|h|$$임을 뜻해요!! 예를 들면 $$ x^2+2x=x^2+O(x)$$하고 $$ \sum_{p\le
x}1=\frac{x}{\ln{x}}+O\left(\frac{x}{(\ln{x})^2}\right)$$가 있어요. 그리고 만일 O(h)부분에 밑첨자로 어떤 문자가 들어갈 때가 있는데 그것은 C가 그 문자에
의존한다는 거예요.
그리고 저 Notation에서 g가 0일 때 \(f=O(h)\)를 대신\(f\ll h\)로 많이 쓰는데 이는 h가 복잡한 식일
경우에는 식이 지저분해지니까. 그리고 역시 위의 Notation처럼 \(\ll\)밑에 어떤 문자가 들어갈 때가
있는데 이것은 C가 그 문자에 의존한다는 거예요.
그리고 \(f=g+o(h)\)란 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-g(x)}{h(x)}=0$$ 일 때를
뜻하고 \(f\sim g\)은 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$일 때를 뜻해요.
그리고 \(f=\Omega(g)\)란 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}\ne 0$$일 때를
뜻하고 특히 \(f=\Omega_{+}(g)\)는 $$ \limsup_{x\to
\infty}\frac{f(x)}{g(x)}>0$$일 때를 뜻하고 \(f=\Omega_{-}(g)\)는 $$
\liminf_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}<0$$일 때를 뜻해요. 그리고
\(f=\Omega_{\pm}(g)\)는 \(f=\Omega_{+}(g)\)인 동시에 \(f=\Omega_{-}(g)\)일 때를
뜻해요. 그리고 \(f \asymp g\)의 뜻은 \(f=O(g)\)인 동시에 \(f=\Omega(g)\)인 거예요.
이제 다음에 해석적 정수론 1에서 봐요!!