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수학을 좋아하는 사람들을 위한 해석학 입문 Preface 이 글은 연습문제를 많이(!!) 낼 거예요. 대수학이라면 몰라도 해석학은 많이 풀어보면 많이 도움되는 것 같아서... 대수학은 왜 아니냐면 대수학은 생각을 충분히 하지 않으면 연습문제를 손도 못 대고(...) 완벽히 이해했다면 연습문제를 풀 필요도 없이 그냥 다 이해한 거라고 생각해서. 하지만 해석학은 완벽히 익히지 않아도 어떻게든 조작은 할 수 있고, 따라서 이 과정에서 연습문제가 많이 중요한 것 같아요. 연습문제 난이도는 Hartshorne 따라서(...) 별표 없는 건 그냥 쉬운거, 하나 있는 건 그래도 어려운 거, 두개 있는 건 난제거나 정말로 많이 어려운 문제를 나타낸다고 할께요. 그리고 중요하진 않은 연습문제는 (△)표시를 할께요. 이건 꼭 풀지 않아도 돼요. 저는 수학을 할 땐.. 더보기
Lie algebra 여기에서 \(k\)는 field라고 할 거고, 자주 algebraically closed field of characteristic \(0\)란 가정을 붙힐 거예요. \(\mathfrak{g}\)가 \(k\) 위의 vector space고, \([\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}\)라는 bilinear map이 주어졌다고 할 때, 이 둘을 묶어서 Lie algebra라고 부르는 것은 다음이 성립할 때를 말해요. (1) \([X,Y]=-[Y,X]\) for all \(X,Y\in \mathfrak{g}\) (2) (Jacobin identity) \([X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]]+[Z,[X,Y]]=0\) for all \(X.. 더보기
Hardy-Littlewood circle method 이것은 정수론의 방법론 중 하나인데, 대충 개요는 이래요. "어떤 것의 갯수를 Fourier transform 비슷하게 나타낸 다음에 안쪽 함수의 행동에 따라서 major arc와 minor arc를 잡자!!" 예를 들어볼까요?? 다음과 같은 문제를 생각할 거예요. "어떤 자연수 \(N\)이 있을 때, 이 \(N\)을 \(k\)제곱수의 \(n\)개의 합으로 나타내는 경우의 갯수는??" 예를 들면, \(k=2\), \(s=4\)라고 하면 나타낼 수 있다는 것은 Lagrange's four square theorem이 되고, 그 방법의 수를 정확하게 나열한 것은 Jacobi's four square theorem이 돼요. 이는 modular form으로 다룰 수 있어요!! \(\Gamma_0(4)\)에서 m.. 더보기

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