여기에서 \(k\)는 field라고 할 거고, 자주 algebraically closed field of characteristic \(0\)란 가정을 붙힐 거예요.
\(\mathfrak{g}\)가 \(k\) 위의 vector space고, \([\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}\)라는 bilinear map이 주어졌다고 할 때, 이 둘을 묶어서 Lie algebra라고 부르는 것은 다음이 성립할 때를 말해요.
(1) \([X,Y]=-[Y,X]\) for all \(X,Y\in \mathfrak{g}\)
(2) (Jacobin identity) \([X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]]+[Z,[X,Y]]=0\) for all \(X,Y,Z\in \mathfrak{g}\)
여기에서 (1)은 \(k\)가 characteristic \(2\)만 아니면 쉽게 \([X,X]=0\) for all \(X\in \mathfrak{g}\)와 동치임을 알 수 있어요.
(2)번은 뭔가 비직관적인 정의인데, 나중에 보면 알 수 있겠지만, 이것은 group action을 위한 거예요. ㅁ...뭐?? 사실 Lie algebra는 어딘가에 act하기 위해서 나타난 애라서요!! 저 조건이 있어야 어떤 action이 잘 정의돼요.
homomorphism of \(k\)인 \(\alpha:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}'\)를 Lie algebra 사이 homomorphism이라고 하는 건 다음이 성립할 땔 말해요.
$$ \alpha[X,Y]=[\alpha(X),\alpha(Y)]$$
for all \(X,Y\in \mathfrak{g}\).
\(\mathfrak{s}\)가 \(\mathfrak{g}\)의 subspace일 때 이것이 Lie subalgebra라는 것은 그냥 \([\mathfrak{s},\mathfrak{s}]\subseteq \mathfrak{s}\)일 때를 말해요. 그냥 연산에 대해서 닫혀 있는 거
여기에서 딴 말을 하자면, Lie algebra라는 것은 보통 행렬들의 모임(??)으로 표현돼요. 대표적인 Lie algebra가 \(n\times n\)-matrix를 모은 \(M(n,k)\). 이는 당연한데, Lie algebra 자체가 어딘가에 act하게 위해서 만들어졌고, vector space에 대한 action은 행렬로 나타낼 수 있잖아요??
뭐, 거의 모든 대수학 이론이 그렇듯이 injection을 embedding, surjection을 quotient map이라고 부르기도 할께요.
\(\mathfrak{a}\)가 \(\mathfrak{g}\)의 subspace라고 할 때, 이것이 \(\mathfrak{g}\)의 ideal이란 것은 \([\mathfrak{g},\mathfrak{a}]\subseteq \mathfrak{a}\)일 때를 말해요. 딱 ring theory에서 ideal의 정의랑 비슷해보이지 않나요??
또 딴소리(...)를 하자면, Lie algebra에서 bracket은 사실
$$ [X,Y]=X\circ Y-Y\circ X$$
꼴로 마음에 담아둘 수 있어요. 저 위의 예제에서는 \(X,Y\)를 matrix로 두고, 함수 합성은 그냥 행렬의 곱으로. 그냥 얼마나 commutativity가 깨지는 지에 대한 척도죠.
이렇게 정의하는 이유는 Lie algebra의 처음 motivation에 있는데, Lie algebra는 원래 Lie group이라고 불리는 어떤 공간대칭의 infinitesimal version이에요!! 그러니까, Lie algebra엔 처음부터 미분이 있어야 해요!! 그런 의미에서, 다음과 같은 걸 정의할 거예요.
\(A\)가 (associative일 필요가 없는) \(k\)-algebra라고 할께요. 그렇다면 linear map \(D:A\to A\)가 derivation이란 것은 \(a,b\in A\)에 대해서
$$ D(ab)=D(a)b+aD(b)$$
를 만족할 때를 말해요. 그냥 Leibniz rule. 이건 위에서 말한 공간의 대칭을 말한다는 Lie group의 관점에서 본다면 그냥 group homomorphism에 불과해요(!!)
\(D,D'\)가 derivation이라면 \([D,D']=D\circ D'-D'\circ D\)라고 정의한다면 \([D,D']\)도 derivation이고, 따라서 \(\mathrm{Der}_k(A)\)라는 \(\mathfrak{gl}_{A}=\mathrm{End}(A))\의 Lie subalgebra를 생각할 수 있어요.
이제 다음을 생각할께요.
$$ Y\mapsto [X,Y]$$
그리고 이걸 \(\mathrm{ad}_{\mathfrak{g}}(X)\)라고 쓸께요. 여기에서 \(\mathfrak{g}\)가 확실하다면 그냥 \(\mathrm{ad}(X)\)라고 쓰기도 할께요. 그렇다면 이것은 위에서 비직관적이라고 말했던 Jacobi identity에 의해서 derivation이 돼요!!
이것은 중요한데, Lie group의 관점에서 본다면 그냥 conjugation이거든요!!
여기에선 Lie group이나 algebraic group 설명 하나도 안 할 거지만(...)
center를 정의할께요.
$$ Z(\mathfrak{g})=\{a\in \mathfrak{g}|[X,a]=0\text{ for all }X\in \mathfrak{g}\}$$
이렇게. 그렇다면 이것은 간단한 observation으로 \(\mathrm{ad}_{\mathfrak{g}}:\mathfrak{g}\to \mathrm{Der}_{k}(\mathfrak{g})\)의 kernel임을 알 수 있어요.
모든 ideal은 그 정의로 inner derivation. 그러니까 \(\mathrm{ad}_{\mathfrak{g}}\)꼴 derivation에 대해서 stable해요. 그러니까,
$$ \mathrm{ad}_{\mathfrak{g}}(X)\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{a}$$
for all \(X\in \mathfrak{g}\)란 이야기. 그리고 이게 inner derivation이 아닌 그냥 모든 derivation에 대해서 stable하다면 \(\mathfrak{a}\)를 characteristic ideal이라고 부를께요. 이것의 예로는 위에서 정의한 center가 있어요.
Lie algebra들의 category는 여러가지를 만족해요. kernel이 있고, product를 정의할 수 있어요. zero object도 있고요. 근데 cokernel하고 coproduct가 없어서 abelian category는 아니에요(...) 그 외에도 여러 isomorphism theorem들이 있어요. 이것들은 쓰기 귀찮아서 그냥 이렇게만 쓸께요 (...)
\(\mathfrak{g}\)의 subalgebra \(\mathfrak{h}\)에 대해서 다음을 정의할께요.
$$ N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})=\{X\in \mathfrak{g}|[X,\mathfrak{h}]\subseteq \mathfrak{h}\}$$
$$ C_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h})=\{X\in \mathfrak{g}|[X,\mathfrak{h}]=0\}$$
universal enveloping algebra라는 게 있어요. 위에서 \(\mathfrak{g}\)에서 \([\cdot,\cdot]\)은
$$ [X,Y]=X\circ Y-Y\circ X$$
로 마음에 담아두면 된다고 했는데, 아예 \(X\circ Y\)를 정의해버린 거. 그만큼 원소들이 당연히 추가되겠죠?? 정의는 대충 이런데, Lie algebra \(\mathfrak{g}\)가 주어졌을 때 \(U(\mathfrak{g})\)라는 associative \(k\)-algebra를 생각하는데, \(A\)가 associative \(k\)-algebra라면 그에 대응되는 Lie algebra를 \([a,b]=ab-ba\)로 정의하는 걸로 정의할 수 있고, \(f:\mathfrak{g}\to A\)가 Lie algebra homomorphism이라면 다음 universal property가 성립하도록.
$$ \begin{aligned} &\mathfrak{g}\overset{i}{\longrightarrow} U(\mathfrak{g}) \\ &\,\,\,\,\!{}_{f}\searrow \,\,\,\,\,\,\,\downarrow\!{}_{\exists ! f'}\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A \end{aligned}$$
여기에서 \(i,f\)는 모두 Lie algebra homomorphism이고 \(f'\)는 그냥 algebra homomorphism. 그러니까 다음이 bijection이어야 해요.
$$ \begin{aligned}f'&\longmapsto f'\circ i \\ \mathrm{Hom}(U(\mathfrak{g}),A)&\longrightarrow \mathrm{Hom}(\mathfrak{g},A)\end{aligned}$$
이렇게 정의하는 이유는 당연한데, Lie algebra를 associative \(k\)-algebra로 올리는 거란 말이에요?? 가장 작은 associative \(k\)-algebra를 만들어야 하는데, 당연히 떠올려야 하는 건 \(X,Y\)들의 곱을 정의하는 거. 그리고 \(XY-YX=[X,Y]\)가 되도록 하는 거.
이것은 다음과 같이 construct하는데, \(k\)-vector space \(V\)가 있으면 이것의 tensor algebra \(T(V)\)를 다음과 같이 정의해요.
$$ T(V)=\bigoplus_{n\ge 0} \left(\bigotimes^{n}_{i=1}V\right)$$
그냥 \(T(V)\)의 원소는 \(v_1\otimes_{k}\cdots\otimes_{k}v_n\)의 합들이라는 거예요. 곱셈은 tensor product로 주어지겠죠?? 그리고 다음의 같은 ideal을 생각해요
$$ I=\{\text{Generated by the form of elements }X\times Y-Y\times X-[X,Y]\text{ of }T(\mathfrak{g})\text{ in the algebra sense }|X,Y\in \mathfrak{g}\}$$
그렇다면
$$ U(\mathfrak{g})=T(\mathfrak{g})/I$$
라고 정의하면 이것은 저 universal property를 만족해요.
앞으로 vector space \(V\) over \(k\)가 있으면 \(\mathfrak{gl}_V=\mathrm{End}(V)\)로, Lie algebra같이 쓸께요.
\(\mathfrak{g}\)라는 Lie algebra가 있을 때, \(\mathfrak{g}\)의 representation을 \(\mathfrak{g}\)의 action이 달린 \(k\)-vector space라고 할께요. 그러니까, vector space \(V\)와 Lie algebra homomorphism \(\rho:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}_{V}\)의 쌍으로. 이걸 좀 더 explicit하게 쓴다면 \(\rho(X)\)는 \(V\)의 endomorphism. 그러니까 행렬이고
$$ \rho([X,Y])=\rho(X)\rho(Y)-\rho(Y)\rho(X)$$
를 만족하는 거예요. 이건 \((\rho,V)\)라는 두 쌍으로 쓸텐데, \(\rho\)라고만 쓰거나 \(V\)라고만 쓸 거예요. \(V\)만 쓰는 경우, \(V\)를 \(\mathfrak{g}\)-module이라고도 부를께요.
\(\rho\)가 faithful이란 건 그냥 \(\rho\)가 injection일 때를 말해요.
당연히 representation들도 category를 만들 수 있어요. 여기서부터 모든 vector space는 finite-dimensional이라고 할께요. \(\mathfrak{g}\)의 representation의 category를 \(\mathrm{Rep}(\mathfrak{g})\)라고 쓸께요. 그럼 이건 abelian category가 돼요. 여기에서 morphism은 어떻게 정의해야 하는지 바로 나오는데, \((V,\rho),(V',\rho')\)란 두 representation이 있으면 그 사이 morphism
$$ f:(V,\rho)\to (V',\rho')$$
를 vector space로서의 linear map이면서 \(\rho'(X)f(x)=f(\rho(X)x)\) for all \(x\in V\) and \(X\in \mathfrak{g}\)로 정의하면 되겠죠??
그렇다면 \(\mathrm{Rep}(\mathfrak{g})\)에 tensor product를 줄 수 있어요!! \(V,W\)란 representation이 있다면 \(V\otimes W\)에 Lie algebra action을
$$ X(x\otimes y)=(Xx)\otimes y+x\otimes (Xy)$$
로 주면 \(V\otimes W\)도 \(\mathfrak{g}\)의 representation이라고 생각할 수 있어요. 그리고 이것은 \(V\otimes W\)에 줄 수 있는 유일한 \(\mathfrak{g}\)-module structure이기도 해요. 그 이유야 \(x,y\)를 basis 수준으로 쪼개면...
Jordan decomposition이라는 게 있어요. 이거 많이 중요한데, 먼저 \(k\)가 perfect field고, \(V\)가 vector space고 \(\alpha\)가 그 endomorphism이라고 할께요. 그렇다면 유일한 두 endomorphism의 쌍
\((\alpha_{s},\alpha_n)\)이 있어서 \(\alpha=\alpha_s+\alpha_n\)이 되고, \(\alpha_s\)는 semisimple이고, \(\alpha_n\)은 nilpotent고,
$$ \alpha_s\circ \alpha_n=\alpha_n\circ \alpha_s$$
가 되고, 둘 다 \(\alpha\)의 polynomial꼴로 나타낼 수 있어요.
증명의 개요는 대충 \(\alpha\)가 모든 eigenvalue를 \(k\) 안에 가지고 있을 때를 증명해요. semisimple이면 그걸로 끝이고, 아니면
$$ V^{a}=\{(\alpha-a)^mx=0\text{ for some }m\ge 1\}$$
이라고 정의하면
$$ V=\bigoplus_{a\in I}V^{a}$$
가 돼요. 여기에서 \(I\)는 \(\alpha\)의 모든 eigenvalue들의 집합. 이건 primary decomposition theorem이에요. 그리고 나머지는 적당한 field extension을 잡아서...
이거 비슷하게, \(\mathrm{ad}(\alpha)\)의 Jordan decomposition은 \((\mathrm{ad}(\alpha_s),\mathrm{ad}(\alpha_n))\)이에요.
잠깐 universal enveloping algebra로 돌아갈께요. \(\mathfrak{g}\)가 finite-dimensional이고 이것의 basis를 \(\{e_i\}\)라고 할께요. 그렇다면
$$ i:\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})$$
를 생각하고, \(\varepsilon_i=i(e_i)\)라고 한다면 당연히 \(\varepsilon_i\)들은 \(U(\mathfrak{g})\)를 algebra sense로 generate하게 돼요. 그렇다면 다음 물음이 있는데, 이것이 "free"하게 generate하는지에 대한 물음. 그리고 이것의 답은 "그렇다"고, 이를 Poincare-Birkhoff-Witt theorem, 줄여서 PBW theorem이라고 불러요.