Preface
이 글은 연습문제를 많이(!!) 낼 거예요. 대수학이라면 몰라도 해석학은 많이 풀어보면 많이 도움되는 것 같아서... 대수학은 왜 아니냐면 대수학은 생각을 충분히 하지 않으면 연습문제를 손도 못 대고(...) 완벽히 이해했다면 연습문제를 풀 필요도 없이 그냥 다 이해한 거라고 생각해서. 하지만 해석학은 완벽히 익히지 않아도 어떻게든 조작은 할 수 있고, 따라서 이 과정에서 연습문제가 많이 중요한 것 같아요.
연습문제 난이도는 Hartshorne 따라서(...) 별표 없는 건 그냥 쉬운거, 하나 있는 건 그래도 어려운 거, 두개 있는 건 난제거나 정말로 많이 어려운 문제를 나타낸다고 할께요.
그리고 중요하진 않은 연습문제는 (△)표시를 할께요. 이건 꼭 풀지 않아도 돼요.
저는 수학을 할 땐 생각을 정말로 많이 해야 한다고 생각해요. 길 가다가도, 잠시 쉴 때도. 처음 어떤 개념을 볼 때 이해가 잘 안 가는 것은 너무나도 당연해요. 사람은 수학 개념을 전달할 때 느낌을 직접 전달할 수 없고 수식으로 전달해야 하니까. 한국어나 영어같은 언어가 완벽하지 않듯, 수식도 결국 완벽하지 않아요. 그리고 그것은 생각을 필요로 하게 만들죠.
음... 이건 나중에 더 늘려야겠다 (...) 당장은 뭘 말해야 할 지 생각이 안 나
이 article에선 \(\Bbb{N}\)은 모든 자연수들의 집합, \(\Bbb{Z}\)는 모든 정수들의 집합, \(\Bbb{Q}\)는 모든 유리수들의 집합, \(\Bbb{R}\)은 모든 실수들의 집합, \(\Bbb{C}\)는 모든 복소수들의 집합이라고 할 거예요.
0. Introduction
해석학 하면 무엇이 생각나나요?? 극한, 미분, 적분,... 뭔가 무시무시한 것들(!!)
음... 그냥, 뭔가 "근사" 비슷한 거라고 생각되지 않나요??
우리가 극한을 배울 때,
$$ \lim_{n\to \infty}\frac{2n^2+n}{n^2+1}$$
같은 문제를 풀어요. 이거, 어떻게 푸나요??
교과서같이 푼다면, 이렇게 풀 거예요.
"양변을 \(n^2\)으로 나눈다. 그러면
$$ \frac{2n^2+n}{n^2+1}=\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n^2}}$$
이고, \(\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0\)이므로 그 극한의 값은
$$ \frac{2+0}{1+0}=2$$
다."
여기에서, 우리는 다음에 주목해야 할 필요가 있어요. "\(n\)이나 \(1\)은, \(n\)이 무한대에 가까우면 가까울수록 \(n^2\)보단 한없이 작아진다." 이것에 주목하면, 다음을 생각할 수 있어요!! 분자나 분모에서 결국 값을 결정하는 factor는 \(n^2\)쪽이고, \(n^2\)쪽만 비교하면
$$ \lim_{n\to \infty}\frac{2n^2+n}{n^2+1}=\frac{2}{1}=2$$
이렇게!!
해석학은, 이렇게 "근사의 학문"이라고 할 수 있어요. 가끔씩 Fourier analysis같은 조금 대수학적인 향기가 있는 게 있지만, 결국 그것도 kernel을 계산할 때 근사로 가게 돼요.
이런 말 들어보았나요?? "해석학은 처음으로 나오는 엄밀한 수학이다."
음... 해석학의 여러 개념들을 엄밀하게 정의하는 건 맞는데, 어... 조금 어눌한 말로 들려요. 왜냐하면 엄밀한 수학은 해석학뿐만 아니라 그냥 수학 전체니까...
아마도 17,18세기, 극한을 정의 없이 쓰던 시절이 너무 길어서 이렇게 말하는 걸지도 몰라요. 극한을 처음 정의한 수학자는 Cauchy가 맞고, 걔는 극한이 처음 나온지 거의 150년만에 극한을 정의했지요 (...)
그렇기 때문에, 전 이 말에 대해선 반신반의하고 있어요.
해석학을 처음 시작할 때, 실수의 엄밀한 정의나, 극한의 정의부터 할 거예요. 모두 처음 봤을 땐 너무 당연하게 썼던 것들을 꼼꼼하게 check하는 과정이라서 조금 어려울 수 있어요.
그리고 우리가 실수와 극한을 아무렇게나 썼음을 알 수도 있지요.
하지만, 이런 것들의 정의는, 결국 우리가 실수나 극한을 써오던 "버릇"으로부터 출발해요. 우리가 중학교 3학년떄 실수를 처음 배운다면, 처음에 \(\sqrt{2}\)같은 걸 알려줄 거예요. 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 \(\sqrt{2}\)라고 하고, 그것을 직선 위에 올리면 우리는 직선에 \(\sqrt{2}\)를 나타낼 수 있지요!!
이것은 중요한데, 결국 실수란 건 "직선 위에 있는 수"라는 거거든요.
그렇다면, 실수를 정의하는 데 있어서 중요한 것은 직선이 "어떤 성질"을 가지고 있느냐에 따른 거예요. 그렇잖아요?? 우리는 실수를 처음 배울 때 직선으로부터 배웠는데!!
그리고 실수는 사칙연산이 가능해야 해요. 당연하지요. 실수도 결국 수인데.
그러면, 직선의 성질로부터 오는 "순서를 정할 수 있다." "빈 곳이 없다."하고, 사칙연산으로부터 오는 "체 공리를 만족한다." 이 세 가지를 생각할 수 있어요. 그리고 이 세 공리계를 모두 만족하는 수체계를 실수 집합이라고 하고, 이런 수체계는 반드시 유일할 수밖에 없다는 정리가 있고, 실수 집합은 잘 정의되게 되지요!!
극한도 결국 마찬가지에요. 맨 위의 예제와 같이, 우리는 극한을 쓸 때 "큰 거"하고 "작은 거"를 구분하게 돼요. 그리고 수열. 또는 함수의 그래프가 어떻게 그려지는지를 생각하기도 하지요.
간단한 case로 \(n\to \infty\)에 대해서만 말해보면, \(n\)이 무작정 커질 때 "큰 거"가 "작은 거"를 압도한다는 것을 어떻게 표현할까요??
어떤 수열 \(a_n\)이 \(a\)로 수렴할 때, 우리는 \(a\)를 \(a_n\)의 "가장 큰 부분"이라고 생각할 수 있고, \(a-a_n\)은 결국 작은 부분으로 \(n\)이 커지면 커질수록 \(0\)에 점점 더 가까워져야 한다는 생각이 들...지 않나요??
그렇잖아요!! 우리는 극한을 쓸 때 언제나 "\(n\)이 커지면 커질수록 작아진다"라고 했는데!!
결국 정의는 이런 곳에서 와요. "우리가 자주 써오던 거였지만, 우리가 미처 눈치채지 못 한 부분." 이것이 바로 수학에서 말하는 정의라는 거예요. 우리의 몰랐던 습관들을 수식으로 표현하는 것.
수학엔 여러 종류가 있어요. 대수학도 있고, 해석학도 있어요. 음... 보통 대수학 하는 사람들은 해석학의 그 껴맞추기가 싫다고 하고, 해석학 하는 사람들은 대수학의 structure 다루기 놀이가 어렵다고 하더라고요. 잘은 모르겠지만, 개인의 성향 차이인 것 같아요.
여기에선 해석학을 할 거예요. 제가 전공이 해석학보단 대수학에 많이 가깝긴 하지만(...) 그래도 해석학을 할 거예요 (??)
해석학은 위에서도 말했듯이, 근사의 학문이에요. 따라서 당연히 해석학에서 중요하게 여겨야 하는 부분이 있는데, "얼마만큼 근사된다."라는 것을 "엄밀하게" 표현하는 것.
그래서, 해석학 입문의 대부분은 바로 이것을 표현하는데 중점을 둬요. 이른바, \(\varepsilon\)-trick이라고 불리는 거.
그럼, 딴소리가 긴 것 같으니까, 여기에서 끊고 본격적인 수학을 시작해볼께요!!
1. Definition of real line
먼저, 해석학에서 가장 먼저 해야 할 것은, "실수"를 정의하는 거예요.
왜...??
우리는 해석학을 "근사의 학문"이라고 했어요. 그렇다면, "어떻게 근사를 표현할 것이냐"는 해석학에서 너무나도 중요한 문제예요. 그리고 그 근사를 표현하는 도구로 해석학은 바로 "부등식"을 쓰지요!!
근사라... 그렇다면, 어떤 수보다 작은 수라는 개념이 있어야 할 것 같지 않나요?? 예를 들면 원주율 \(\pi=3.1415926535897932384664\cdots\)를 근사하는데, 분명 \(3\)보단 \(3.14\)가 더 좋아요. 그리고 \(\pi\) 자신을 제외한다면 \(\pi\)를 가장 많이 근사하는 실수란 개념따윈 없죠.
따라서, 해석학에선 두 가지가 필요해요.
"부등식"
"어떤 수보다 더 작은 수"
그리고 이 두 가지가 있는 수체계에서 해석학은 존재하지요.
수체계라면 당연히 사칙연산이 있어야만 할 것 같아요. 따라서 우리는 여기에 사칙연산도 넣어주자고요. 덧셈과 뺄셈은 실수를 평행하게 옮기는 역할을 하고, 곱셈과 나눗셈은 twisting. 그러니까, 꼬임을 나타내요. 이는 해석학에 많이 중요한데, 해석학은 근사의 학문인데 근사할 게 없으면 안 되잖아요(...) 그리고 위에서 극한 설명했던 것과 같이 근사를 이런 사칙연산으로 할 건데!!
그렇다면, \(A\)를 set(집합)이라고 하고, 다음을 정의할께요.
정의 1.1. \(A\)의 관계 (relation)을 \(A\times A\)의 subset으로 정의하자.
...?? 이게 뭔 뜻이지(...)
우리는 부등식을 나타낼 때 \(1\le 2\)같이 나타내고, \(2\le 1\)이라곤 나타내지 않아요. 그렇다면, 실수들의 집합을 \(\Bbb{R}\)이라고 할 때, 우리는 \((1,2)\)를 \(\Bbb{R}\times \Bbb{R}\)의 subset인 \(R\)의 원소라고 하고, \((2,1)\)은 \(R\)의 원소가 아니라고 하면...??
그러니까, 이런 거예요. \((a,b)\in R\)이라면 우리는 \(a\sim b\)라고 표현할께요. 감이 오지 않나요?? \(a\)하고 \(b\)가 "어떤 관계에 있다."라는 걸 그냥 \((a,b)\in R\)로 표현한 거 뿐이에요.
부등식도 이런 관계예 불과해요. "\(1\)은 \(2\)보다 작다."라는 것은 결국 \(1\)과 \(2\)가 어떤 대소"관계"에 있느냐를 표현한 거잖아요??
보통 관계를 \(\sim\)으로 써요. 그리고 \((a,b)\in \sim\)이면 \(a\sim b\)라고 표현하고요.
연습문제 1.1. 사실 관계란 건 부등식뿐만 아니라 참 많은 것을 표현할 수 있어요. 그렇다면, \(A\)의 관계 \(\sim\)이 equivalence class (한국어 번역이 뭔지 모르겠... ㄸㄹㄹ)라는 걸 \(\sim\)이 다음 세 가지를 만족할 때로 정의할께요.
(1) 모든 \(a\in A\)에 대해서 \(a\sim a\)
(2) 모든 \(a,b\in A\)에 대해서 \(a\sim b\)하고 \(b\sim a\)인 건 동치
(3) 모든 \(a,b,c\in A\)에 대해서 \(a\sim b\)고 \(b\sim c\)면 \(a\sim c\)
그렇다면 \(\sim\)이 \(A\)의 관계일 때
$$ [a]=\{b\in A|a\sim b\}$$
라고 정의한다면 \(\sim\)이 equivalence class라는 명제와 \(a\sim b\)와 \([a]=[b]\)가 동치라는 명제는 서로 동치임을 증명해주세요!!
이걸 뜬금없이 왜 소개했냐면, 저는 이걸로 실수를 만들 거예요!!
그럼 부등식을 정의할 수 있는데, 다음과 같이 정의할께요.
정의 1.2. \(A\)가 set이고 \(<\)이 \(A\)의 relation이라고 하자. 그렇다면 이것이 부등호라는 것은
(1) 모든 \(a,b\in A\)에 대해서 \(a\ne b\)거나 \(a<b\)거나 \(b<a\)다. 그리고 세 case 중 한 가지밖에 될 수 없다.
(2) \(a,b,c\in A\)에 대해서 \(a<b\)고 \(b<c\)라면 \(a<c\)다.
이 두 가지를 만족할 때를 말한다. 그리고 이 두 쌍 \((A,<)\)을 totally ordered set이라고 한다. 그렇다면 \((A,<)\)가 totally ordered set일 때
$$ a\le b\iff a<b \text{ or }a=b$$
로 정의하자.
어떻나요?? 분명 서로 같이 않는 이상 둘 사이의 대소관계를 명확해야 돼요. \(3\)은 \(4\)보다 크지도 않고 작지도 않고... 이건 없잖아요?? 그리고 (2)도 당연해요. \(a\)보다 큰 것보다 큰 건 당연히 \(a\)보다 커야 하잖아요?? 그리고 우리가 부등호를 쓸 때, 본질적으로 이 둘만 써요 (!!)
정 모르겠다면, 고등학교 1학년 수2의 방정식과 부등식 파트를 보면 돼요. 그그 덧셈, 곱셈에 대한 부등호 법칙이랑 저 두 가지로 모든 것이 해결돼요!! 그리고 우린 아직 \(A\)에 어떤 사칙연산도 주지 않았으니까 저 두 가지만 쓰는 거고요.
뜬금이지만, 저 어린이집때 생각이 나는데, 어린이집에서 부등호를 가르칠 때 물고기가 서로 잡아먹는 걸로 가르쳤던 기억이 나요. 큰 물고기는 큰 숫자를 가진 걸로. 그렇게 해서 \(3<4\)나 \(5<7\)같은 걸 가르...쳤는데...
연습문제 1.2. (△) 위에선 \(<\)를 썼는데, 이거 말고 \(\le\)를 쓰고도 totally ordered set을 정의할 수 있어요. \(\le\)가 \(A\)의 관계라고 해봐요. 그리고 \(a<b\)라는 걸 \(a\le b\)면서 \(a\ne b\)인 걸로 정의할께요. 그럼 다음 둘은 동치임을 증명해주세요!!
(1) \((A,<)\)은 totally ordered set이다.
(2) \(\le\)는 다음 세 가지를 만족한다.
(2-1) 모든 \(a,b\in A\)에 대해서 \(a\le b\)거나, \(b\le a\)
(2-2) \(a,b\in A\)에 대해서 \(a\le b\)고 \(b\le a\)라면 \(a=b\)
(2-3) \(a,b,c\in A\)에 대해서 \(a\le b\)고 \(b\le c\)라면 \(a\le c\)
연습문제 1.3. (Zorn's lemma) (★) (△) 위에서 우리는 totally ordered set이란 말을 썼어요. 마치 totally란 말이 중요하단 듯이. 그렇다면, 이걸 그냥 뺄 수도 있는데, totally ordered set에서 (1)의 "\(a\ne b\)거나 \(a<b\)나 \(b<a\)다."란 말을 뺄께요!! 그러니까, \(a\)와 \(b\)는 대수비교를 못 할 수도 있어요. 그렇다면 이렇게 조건을 하나 뺀 걸 patially ordered set이라고 할께요.
그렇다면, \((A,<)\)가 partially ordered set일 때 \(A\)의 subset을 \(B\)라고 하면 \((B,<)\)가 totally ordered set일 때 \((B,<)\)를 chain이라고 할께요. 그리고 \((B,<)\)가 chain일 때 이것의 상한(upper bound)이란 걸 \(a\le g\) for all \(a\in B\)를 만족하는 \(g\in A\)로 정의할께요.
그리고, \((A,<)\)가 patially ordered set일 때, 이것의 최대값(maximal element)를 \(m\in A\)면서 어떤 \(a\in A\)도 \(m<a\)일 수는 없는 원소 \(m\)을 뜻한다고 할께요.
그렇다면, \((A,<)\)의 모든 원소가 chain을 가질 때, 이것의 maximal element가 적어도 하나는 있음을 보여주세요!!
(이것은 그 유명한 집합론의 공리인 axiom of choice와 동치예요. 이것은 대충 "공들이 들어 있는 상자들이 있을 때, 상자에서 공을 하나씩 꺼내서 그 공들을 모을 수 있다."라는 설명인데, 여기에서 공이나 상자는 무한개라도 상관 없어요.)
(만약에 transfinite recursion을 안다면, 별표를 빼도 될 것 같아요. 그 전에 증명을 이미 봤겠지ㅁ...읍읍)
이렇게, 우리는 순서를 정의했어요. 그렇다면, 이젠 사칙연산을 정의할 때예요!!
정의 1.3. \(G\)가 set이라고 하자. 그리고 \(\cdot:G\times G\to G\)가 이항 연산 (binary operator) (그냥 \(G\times G\)에서 \(G\)로 가는 함수)라고 하자. (여기에선 간단히 \(\cdot(x,y)=x\cdot y=xy\)로 쓰자.) 그렇다면 \((G,\cdot)\)이 group이란 것은
(1) (결합법칙) 모든 \(x,y,z\in G\)에 대해서 \((xy)z=x(yz)\)다.
(2) (항등원) 어떤 \(e\in G\)가 있어서 \(xe=ex=x\) for all \(x\in G\)다. 여기에서 \(e\)를 \(G\)의 항등원(identity)이라고 한다.
(3) (역원) 모든 \(x\in G\)에 대해서 그에 맞는 \(x^{-1}\in G\)가 있어서 \(xx^{-1}=x^{-1}x=e\)다. 여기에서 \(x^{-1}\)을 \(x\)의 역원(inverse)라고 한다.
를 만족하는 것을 말한다.
group은 \((G,\cdot)\)라고도 쓰지만, 보통 그냥 \(G\)라고 쓴다. 그리고 \(G\)가 abelian group이란 것은
(4) (교환법칙) 모든 \(x,y\in G\)에 대해서 \(xy=yx\)다.
를 같이 만족하는 것을 말한다.
\(\cdot:G\times G\to G\)라고 쓴 이유를 아시겠나요?? 이항 연산은 기본적으로 두 숫자를 받아서 하나로 만들어요. 예를 들면 \(4+5=9\)같이. \(4\)와 \(5\)를 받아서 \(9\)를 만든 거지요!! 이는 \(+\)는 \((4,5)\)를 \(9\)로 대응시키는 함수라고도 생각할 수 있어요. 바로 이거예요!!
\(G\)가 group이라면 항등원은 유일해요. (1),(2)만 가정한 상태에서 \(e,e'\)가 \(G\)의 두 항등원이라면,
$$ e=ee'=e'$$
로 \(e=e'\)가 되고, 항등원은 유일해요. 그렇다면 (3)의 이야기를 자연스럽게 할 수 있겠죠?? 마찬가지로 역원도 유일한데, \(x'\)를 \(x^{-1}\) 말고 \(x\in G\)의 다른 역원이라고 하면
$$ e=xx'=xx^{-1}$$
이고, 양변의 왼쪽에 \(x'\)나 \(x^{-1}\)를 곱해주면
$$ x'=x^{-1}$$
이 나오고 결국 역원도 유일하게 되지요.
앞으로 \(n\)이 자연수일 때, \(x\)를 \(n\)번 곱한 것을 \(x^n\)이라고 쓸께요.
연습문제 1.4. (△) group을 정의할 때, (3)에서 \(xx^{-1}=e\)라고만 써도 \(x^{-1}x=e\)는 자동으로 만들어짐을 증명해주세요!!
딴말이긴 한데, group이란 건 원래 "대칭"이란 걸 나타내기 위해서 탄생했어요!! 근데 여긴 해석학이니까 더 자세히는 말하지 않을께요 (...)
이제 abelian group \((G,+)\)을 additive group이라고 할께요. 이유는 그냥 이항연산으로 \(+\)를 써서
또 딴말이긴 한데(...) 저는 additive group을 개인적으로 additive group보단 \(\Bbb{Z}\)-module이라고 말하는 걸 더 좋아해요.
이제, ring이란 걸 정의할께요.
정의 1.4. \(R\)이 set이고, \(+,\cdot\)이 \(R\)의 두 binary operators라고 하자. 그렇다면 \((R,+,\cdot)\)이 ring이라는 건
(1) \((R,+)\)가 additive group이다.
(2) (결합법칙) 모든 \(x,y,z\in R\)에 대해서 \((xy)z=x(yz)\)다.
(3) (항등원) 적당한 \(1\in R\)이 있어서 \(1x=x1=x\) for all \(x\in R\)이다.
(4) (분배법칙) 모든 \(x,y,z\in R\)에 대해서
$$ x(y+z)=xy+xz,\,\, (x+y)z=xz+yz$$
다.
이 네가지를 만족할 때를 말한다. 그리고 \((R,+,\cdot)\)이 ring이고 \(xy=yx\) for all \(x,y\in R\)일 때 \(R\)을 commutative ring이라고 한다.
이 정의는 어떤가요?? commutative ring이란 "덧셈"이 제대로 있고, "곱셈"이 제대로 정의되어 있고, 이 둘이 "분배법칙"이란 걸 따르는 걸 뜻해요!!
group과 마찬가지로, ring도 \(1\)이란 항등원은 언제나 유일해요. 증명은 완전히 똑같아요.
\(R\)이 ring이라고 해봐요. \((R,+)\)에서 \(x\in R\)의 역원은 \(-x\)로 쓰기로 할께요. 그렇다면 \(x\in R\)일 때 \(-(-x)=x\)인데, 왜냐하면 정의로
$$ (-x)+(-(-x))=0$$
이고, 앙변에 \(x\)를 더하면 \(x=(x+(-x))+(-(-x))=-(-x)\)이기 때문이에요. 그리고 \(-x=(-1)x\)이기도 한데, 이건
$$x+(-1)x=1x+(-1)x=(1+(-1))x=0x=0$$
이기 때문이에요. 아, \(0x=0\)인 건 \(0x=(0+0)x=0x+0x\)여서 양변에 \(-0x\)를 더하면 돼요. 마찬가지로 \(x0=0\). 그리고
$$ (-x)(-y)+x(-y)=0$$
에서 \((-x)(-y)=-x(-y)\)고,
$$ -x(-y)+(-xy)=(-1)x(-y)+(-1)xy=(-1)x((-y)+y)=(-1)x0=0$$
으로 \(-x(-y)=xy\)고, 결국 \((-x)(-y)=xy\)가 돼요.
이것도 제 과거사인데, 전 중1 초까지 \((-1)(-1)=-1\)이라고 굳게 믿고 있었어요 (...)
이제 \(x-y=x+(-y)\)로 정의할께요.
여기엔 아직 나눗셈이 없어요. 그래서 줘보도록 해요.
정의 1.5. \(k\)가 commutative ring이고 모든 \(x\in k\setminus \{0\}\)에 대해 적당한 \(\frac{1}{x}\in k\)가 있어서
$$ x\frac{1}{x}=1$$
이라면 \(k\)를 field라고 하자.
field란 직관적으로 사칙연산이 모두 자유로운 집합을 말해요!! 해석학에선 이렇게만 알아두어도 괜찮을 것 같아요.
이제 \(R\)이 ring일 때, \(nx\)를 \(x\)를 \(n\)번 더한 걸로 생각하고, group과 마찬가지로 \(x^n\)은 \(x\)를 \(n\)번 곱한 걸로 생각할께요.
이거 또 딴말인데, 사칙연산에서 나눗셈이 빠진 ring을 왜 써...?? 이거 대수학에서 보면 많이 중요한데, 대수기하적 관점에서 보면 ring이란 "도형"을 뜻해요 (!!) 뭐, 이거 설명하자면 이거 해석학 시리즈의 몇 배 분량으로 써도 끝이 없을 것 같으니(...)
이제 \(x,y\in k\)고 \(y\ne 0\)이면 \(\frac{x}{y}=x\frac{1}{y}\)로 정의할께요.
연습문제 1.5. (△) 원소의 갯수가 유한개인 field가 있을까요?? 단 여기에서 \(k=\{0\}\)같은 너무 당연한 경우는 제외할 거예요.
어쨌든, 실수를 정의하기 위한 두 가지 준비는 끝났어요. "순서"하고, "사칙연산". 이제 이 둘을 합칠 차례예요!!
정의 1.6. \(k\)가 field라고 하자. 그렇다면 이를 totally ordered set으로 만드는 \(k\)의 relation \(<\)에 대해서 \((k,<)\)가 ordered field란 것은 다음 둘을 만족할 때를 뜻한다.
(1) \(a,b\in k\)에 대해서 \(a<b\)면 모든 \(c\in k\)에 대해 \(a+c<b+c\)
(2) \(a,b\in k\)에 대해서 \(0<a,b\)면 \(0<ab\)
\((k,<)\)가 ordered field라면 (1),(2)로 \(a<b\)고 \(c>0\)이면 \(ac<bc\)임도 증명할 수 있는데, 간단히 \(a<b\)면 (1)로 \(0<b-a\)고, 따라서 여기에서 \(c\)를 곱하면 \(0<c(b-a)=bc-ac\)가 되고, \(ac\)를 옮기면 \(ac<bc\)가 되어 증명이 끝나겠죠??
생각해보면, 우리는 부등식을 다룰 때, 대수적 조작이라곤 한다는 게 양변에 무언가를 더한다던가 곱한다는 것밖에 없어요. 사실 다른 건 모두 저 두 공리의 따름정리일 뿐이에요!!
연습문제 1.6.
(1) ordered field의 정의에서 (2)를 "\(a,b\in k\)가 \(a<b\)를 만족한다면 모든 \(c>0\)에 대해서 \(ac<bc\)다."라는 명제로 바꿔도 됨을 증명해주세요!! ordered field의 정의에서 (1)도 비슷하게 바꿀 수 있을까요?? (그러니까, (1)을 "\(a,b>0\)이면 \(a+b>0\)이다."란 명제로 바꿀 수 있을까요??)
(2) \(k\ne \{0\}\)이라면 \(-1<0\)임을 증명하고, 이것으로 모든 \(a\in k\)에 대해서 \(a^2\ge 0\)임을 증명해주세요!!
이젠 조금 중요한 걸 할 텐데, \(k\)가 ordered field인데 어떤 자연수 \(n\)에 대해서 \(n1=0\)이라고 해봐요. 엥...?? 이럴 리가 없잖아. 자연수가 \(0\)이라니... ordered field 위에선 이런 일은 없지만, 일반적인 field 위에선 이런 일이 많아요 (...)
어쨌든, 그러면 먼저 연습문제 1.6의 (2)로 \(1>0\)이고, 따라서 수학적 귀납법을 쓰면 \(m1>0\) for any positive integer \(m\)임을 알 수 있어요. 따라서 \(0=n1>0\)이고, \(0>0\)을 얻는데 이건 거짓이지요!! 따라서 모든 자연수 \(n\)에 대해서 \(n1=0\)일 수 없어요.
이게 왜 중요하냐고요?? 함수를 하나 생각해요. 이렇게
$$ \begin{aligned} i:\Bbb{N}& \hookrightarrow k \\ n&\longrightarrow n1 \end{aligned}$$
그렇다면 \(k\)엔 자연스럽게 자연수 체계가 들어가게 돼요(!!) 그리고 이건 단사함수(injection)가 되지요. 이거 많이 중요해요!! 별표!!!!!!!!
앞으로 \(k\)가 field고 \(n\)이 자연수면 그냥 \(n1\)이라고 쓰지 않고 \(n\)이라고 쓸께요.
이제, ordered field까지 왔어요!! 제가 저저저 위에서 실수 집합에 대해서 이야기할때 기억나나요?? 총 세 가지를 들었어요.
"순서" "빈 곳이 없음" "사칙연산"
우리는 여기에서 "순서"와 "사칙연산"을 구현하는데 성공한 거예요!!
그렇다면 남은 건 "빈 곳이 없음"인데, 이건 말도 애매하고 어떻게 구현해야 하는 걸까요??
위의 연습문제를 하나도 빠짐없이 푼 사람이면 이미 알겠지만, \((A,<)\)이 totally ordered set이라고 할 때 \(A\)의 subset \(B\)에 대해서 \(u\in A\)가 \(B\)의 upper bound라는 것을 모든 \(a\in B\)에 대해서 \(a\le u\)일 때를 말해요. 그리고 \(B\)의 least upper bound라는 것은 \(B\)의 upper bound들 중에서 가장 작은 거. 그러니까 \(u'\)가 \(B\)의 upper bound고 다른 \(B\)의 upper bound \(u\)가 있으면 \(u'\le u\)일 때를 말해요.
당연히 일반적인 ordered field에선 upper bound가 있다고 해서 least upper bound가 있는 건 아니에요. 하지만 실직선을 생각하면, upper bound가 있다는 것은 실직선을 오른쪽으로 계속 가다 보면 어느 순간 집합의 원소가 영원히 안 나타난다는 것을 뜻하고, 그러면 처음으로 안 나타나는 지점을 생각했을 때가 바로 least upper bound인 거고요!!...어?? 반드시 존재해야... 할 것 같다??
다음을 정의할께요.
정의 1.7. \(k\)가 ordered field라고 하자. 그렇다면 upper bound가 존재하는 모든 \(k\)의 subset이 least upper bound를 가지고 있다면 \(k\)를 real field (한국어로는 실수체 또는 실수 집합)이라고 하고 \(\Bbb{R}\)이라고 쓰자.
이게 바로 실수 집합의 정의예요!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
그럼 왜 least upper bound일까... 뭔가 실수 직선에 빈 데가 있다면, 딱 그 빈 데에서 끝나는 집합을 언제나 잡을 수 있지 않나요?? 그러면 least upper bound는 얄짤없이 없게 되는 거고요
저 성질은 그런 경우가 하나도 없음을, 그러니까 실수 직선은 빠짐없이 모든 곳이 꽉 차 있음을 알려주지요!!
으음... 조금 생각해보면, 이거 유일하지 않을 수도 있어요(...) 사실 field도 유일하지 않고, ordered field도 유일하지 않는데, 이거라고 유일하란 보장은 없잖아요?? 근데, 이것만큼은 유일해요!!
이를 증명하기 위해서, 다음을 증명할께요.
정리 1.8. (Archimedean property) real field \(\Bbb{R}\)에서 \(\Bbb{N}\)은 upper bound가 없다.
여기에서 \(\Bbb{N}\)을 \(\Bbb{R}\)의 subset 취급을 했는데, 저 위에서 잡아준 \(i:\Bbb{N}\hookrightarrow \Bbb{R}\)의 image를 그냥 \(\Bbb{N}\)이라고 쓴 거예요. 사실 그 image랑 원래 \(\Bbb{N}\)은 성질의 차이가 "하나도" 없으니까 상관 없어요.
그럼... 이걸 생각하자면, 실직선에서 보면 자연수 집합은 너무나도 당연하게 끝이 없어요(...) 모든 자연수는 그 다음 자연수가 있는데 어떻게 자연수에 끝이...
증명) \(\Bbb{N}\)에 upper bound가 있다고 해봐요. 그렇다면 \(\Bbb{N}\)은 least upper bound가 있고, 이를 \(\ell\)이라고 할께요. 그렇다면 모든 자연수 \(n\)에 대해서 \(n\le \ell\)이겠네요??
근데 \(\ell-1\)을 생각해봐요. 이걸 생각하는 이유는 뭔가 \(\ell\)은 초월적인 존재(??)라서 조금씩은 움직여도 upper bound란 성질을 해치기 않을 거란 믿음에서 그래요. 그렇다면 \(n<\ell-1\) for all \(n\in \Bbb{N}\)도 참이에요!! 그냥 \(1\) 왼쪽으로 넘기면 되죠 뭐. 그러면 \(\ell\)은 least upper bound니까 \(\ell-1\)보다 작아야 하고, 따라서 \(\ell<\ell-1\)이고, \(0<-1\)이에요. 모순이죠!!
따름정리 1.9. \(\Bbb{R}\)이 real field라고 하자. 그렇다면 \(x\in \Bbb{R}\)일 때, \(x>0\)이면 적당한 자연수 \(n\in \Bbb{N}\)이 있어서 \(\frac{1}{n}<x\)다.
증명) 간단해요. 그냥 적당한 \(n\)이 있어서 \(\frac{1}{x}<n\)이고, 이제 분자 분모 바꿔주면 되겠죠??
정리 1.10 (유리수의 조밀성) \(\Bbb{R}\)이 real field라고 하고, \(x,y\in \Bbb{R}\)이라고 하자. \(x<y\)라면 적당한 \(z\in \Bbb{Q}\)가 있어서 \(x<z<y\)다.
유리수는 이렇게 정의한다.
$$ \Bbb{Q}=\left\{\frac{r}{s}|r\in \Bbb{Z},s\in \Bbb{Z}\setminus\{0\}\right\}$$
이런 말 들어보셨나요?? 유리수는 실수 직선에 빽빽하게 모여 있다고. 음... 중3때도 한 번 들어볼만 한데... 모르겠당. 어쨌든 그 얘기예요!!
증명) 먼저 \(0<y-x\)고, 따라서 적당한 자연수 \(n\)이 있어서 \(\frac{1}{n}<y-x\)이에요. 따라서 양변에 \(n\)을 곱하면 \(1<n(y-x)\)가 되지요.
이런 짓을 하는 이유는 \(y-x\)라고 하면 그 거리에 대해서 아무 정보도 없지만, 여기에 적당히 뭔가를 곱해주면 뭔가 정보가 생겨요!! 그러니까 일단 곱해줘요. 그렇다면 우린 \(nx\)보다 큰 최소의 자연수를 생각할 거예요. 이런 최소의 자연수는 언제나 존재하는데, 이건 수학적 귀납법으로 증명할 수 있어요.
...실수 만드는데 먼저 자연수부터 소개해야 했나 (...)
어쨌든, 그 자연수를 N이라고 하고, \(N\ge ny\)라고 할께요. 그렇다면
$$ 1<ny-nx\le N-nx$$
가 되는데, \(0<N-nx\le 1\)이어야 해요!! 아니라면 \(nx\)보다 작거나 같은 자연수들 중에서 최대의 자연수를 \(N'\)이라고 하면 \(N'\le nx\)면서 \(nx<N'+1\)이 돼요!! 따라서 \(N\le N'+1\)인데, 이래버리면
$$ 1<N-nx\le N'+1-nx=(N'-nx)+1\le 1$$
이 되어 모순이 생기지요. 따라서 \(0<N-nx\le 1\)이고, 따라서
$$ 1<ny-nx\le N-nx\le 1$$
로 \(1<1\)이 생기고 이건 모순이지요. 따라서 \(nx<N<ny\)여야 하고, \(x<\frac{N}{n}<y\)로 원하는 유리수를 찾았어요.
정리 1.11. 두 real field \(\Bbb{R}\), \(\Bbb{R}'\)가 있다면, 적당한 함수 \(f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}'\)이 있어서 다음 세 가지 조건을 만족한다.
(1) \(f\)는 전단사함수(bijection)다.
(2) 모든 \(x,y\in \Bbb{R}\)에 대해서 \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)고, \(f(xy)=f(x)f(y)\)다.
(3) 모든 \(x,y\in \Bbb{R}\)에 대해서 \(x<y\)라면 \(f(x)<f(y)\)다.
이것이 바로 실수 집합의 유일성 정리예요!! 그냥 함수만 줬을 뿐이잖아...?? 괜찮아요. 저 함수는 그래프를 그려야 하는 무언가가 아니라, 두 real field가 있다면 그것은 그저 같은 실수 집합을 다른 기호로만 썼다는 걸 뜻해요!! 마치 \(\Bbb{R}\)은 자연수를 우리가 쓰는 방식대로 \(1,2,3,\cdots\) 이렇게 쓴다면 \(\Bbb{R}'\)에선 로마 숫자로 쓴다던가... 그리고 \(f\)는 단순히 \(1\)을 \(I\)로, \(5\)를 \(V\)로 보내는 것밖에 안 돼요.
증명) 먼저 \(\Bbb{R}\) 안의 유리수를 \(\Bbb{R}'\) 안의 유리수로 자연스럽게 옮기고 싶어요. 따라서 \(\Bbb{R}\)에서 곱셈의 항등원을 \(1\)이라고 쓰고 \(\Bbb{R}'\)에서 곱셈의 항등원을 \(1'\)이라고 쓴다면 일단 \(p,q\in \Bbb{Z}\)고 \(q\ne 0\)일 때
$$ f\left(\frac{p1}{q1}\right)=\frac{p1'}{q1'}$$
이라고 쓸께요. 그렇다면 이는 일단 (1), (2), (3)을 모두 만족함을 쉽게 알 수 있어요.
이제 실수에 대해서 정의해야 하는데, 어떻게 정의해야 하는지 막막해요(...) 하지만, 우리에겐 방법이 있는데, 실수를 "유리수로 근사"하는 거예요!! 잘 근사될까...?? 그래서 이미 유리수의 조밀성을 증명해놨지요!! 그렇잖아요?? 해석학은 근사의 학문이라고요 헤헤 (이상해짐)
이제 해석학에서 그 유명한 \(\varepsilon\)-trick을 쓸 거예요. \(\varepsilon\)은 그냥 "무지무지 작은 수"라고 생각하면 되는데, 그냥 \(\varepsilon>0\)인 실수로 둬요. 여기에선 아직 극한도 소개 안 했으니까(...) \(\varepsilon>0\)을 생각하는 게 아닌 조금 다르게 생각할 거예요.
일단 \(x\in \Bbb{R}\)이라고 해봐요. 그렇다면 \(x\)와 \(x-\frac{1}{2}\) 사이엔 유리수의 조밀성으로 유리수가 하나 있어요. 그걸 \(r_1\)이라고 할께요. 그러면 \(x\)와 \(\frac{r_1+x}{2}\) 사이엔 또 유리수가 있고, 그걸 \(r_2\)라고 할께요.
이렇게 생각하는 이유는, 유리수들의 수열같은 걸 만들어서, 그 수열이 \(x\)에 확실히 다가가게 만들고 싶어서 그래요. 눈치빠른 사람은 이해했겠지만, 이것은 바로 "수열의 극한"이에요!!
그렇게 수열의 귀납적 정의로 \(x\)와 \(\frac{r_{n-1}+x}{2}\) 사이의 유리수 하나를 잡아서 \(r_n\)을 정의할께요. 그렇다면 \(r_n\)은 다음을 두 가지를 만족해요.
(1) \(r_n<r_{n+1}\)
(2) \(x-\frac{1}{2^n}<r_n<x\)
이것의 증명은 수학적 귀납법으로 하는데, \(n=1\)일 땐 자명하고, \(n=n'>1\)일 때 성립한다면 \(n'+1\)일 땐 \(r_{n+1}<x\)는 저 construction대로 자명하고 나머지 부등호 방향은 (1)은
$$ r_{n'+1}=\frac{r_{n'}+x}{2}\ge \frac{r_{n'-1}+x}{2}=r_{n'}$$
으로, (2)는
$$ r_{n'+1}=\frac{r_{n'}+x}{2}>\frac{x-\frac{1}{2^{n'}}+x}{2}=x-\frac{1}{2^{n'+1}}$$
으로 증명이 끝나요.
그렇다면, \(f(r_{n})\)이라는 수열을 생각할 수 있어요. 이것은 \(f(r_{n+1})<f(r_{n})\)을 만족하고, \(x\)보다 큰 자연수를 아무거나 \(N\)이라고 하면 \(f(N)\)보단 작아요. 따라서
$$ A'=\{f(r_n)|n\in \Bbb{N}\}$$
이라고 한다면 이는 \(\Bbb{R}'\)의 subset이면서 upper bound를 \(f(n)\)으로 가지고, 따라서 least upper bound가 존재해요!! 이를 \(f(x)\)라고 정의할께요.
이제 이렇게 정의한 \(f\)가 "잘 정의됨"을 보여야 해요!! 저저 유리수 수열 잡은 것에 따라서 \(f(x)\)가 달라지면 안 되잖아요(...)
저렇게 똑같은 방법으로 만든 유리수 수열 \(s_n\)을 잡으면 \(m,n\) 이렇게 변수 두 개를 잡아서 \(a_{m,n}=f(r_m)-f(s_n)\)을 생각할 거예요. 그렇다면 \(r_n\)으로 만든 \(f\)를 그냥 \(\lim f(r)\)로 쓰기로 한다면 \(a_{m,n}\ge f(r_m)-\lim f(s)\) for all \(m,n\in \Bbb{N}\)이 되고, 대충 말해서 \(a_{m,n}\)은 \(m,n\)이 동시에 커지면 커질수록 \(0\)에 가까이 간다는 걸 증명하면 어떻게든 될 것 같지 않나요??
음... 먼저 \(-\frac{1}{2^m}<r_m-s_n<\frac{1}{2^n}\)이에요. 이것은 \(m,n>N\)일 때 \(-\frac{1}{2^N}<r_m-s_n<\frac{1}{2^N}\)을 말하지요. 따라서 \(m,n>N\)이라면
$$ f(r_m)-\lim f(s)<\frac{1}{2^N}$$
(in \(\Bbb{R}'\))이 되고, 이는 \(N\)을 고정시키면 \(m>N\)이기만 하면 다 되고, 따라서 \(m\)을 무작정 늘리면 \(\lim f(r)-\lim f(s)\le \frac{1}{2^N}\)이 되고, 이제 \(N\)은 아무렇게나 잡아도 되니까 \(N\le 2^N\)와 archimedean property로 \(\lim f(r)-\lim f(s)\le 0\)이 되지요!! 이제 \(r\)하고 \(s\)의 역할을 바꾸면 \(\lim f(s)-\lim f(r)\le 0\)도 얻을 수 있고, 따라서
$$ f(x)=\lim f(r)=\lim f(s)$$
를 잘 정의할 수 있어요.
그렇다면 우리는 저 세가지를 증명해야 해요. 먼저 첫번째로 전단사함수란 건 먼저 전사인 건 \(x'\in \Bbb{R}'\)가 있을 때 \(x'\)에게도 비슷하게 \(r'_n\)을 정의할 수 있고, \(f(r''_n)=r'_n\)이 되는 유리수 수열 \(r''_n\)을 반드시 \(\Bbb{R}\)에서 찾을 수 있어요!! 그리고
$$ A''=\{r''_n|n\in \Bbb{N}\}$$
이라고 한다면 이것도 upper bound가 있고, least upper bound를 \(x''\)라고 한다면 \(f(x'')=x'\)임을 증명해야 해요. 이것의 증명은 쉬운데, \(f(r''_n)=r'_n\)으로 만든 set의 least upper bound는 결국 \(x'\)고, 이것은 정의로 \(f(x'')\)니까.
단사인 건 먼저 \(x>y\)라면 적당한 자연수 \(m\)이 있어서 \(x>y+\frac{1}{m}\)이고, \(x\)로 정의한 \(r_n\)을 생각하면 적당한 \(n\)이 있어서 또 \(x-\frac{1}{n}>y+\frac{1}{m}\)이고 따라서
$$ y<y+\frac{1}{m}<y+\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<x-\frac{1}{n}\le x-\frac{1}{2^n}\le r_n$$
이 되고, 따라서 \(y\)로 정의한 어떤 \(s_{\ell}\)을 잡든 \(s_{\ell}+\frac{1}{m}\le r_n\)이고 따라서
$$ f(y)=\lim f(s_{\ell})<\lim f(s_{\ell})+\frac{1}{m}\le \lim f(r_n)=f(x)$$
고, 따라서 \(f(y)<f(x)\)가 만들어지지요!! (\(m\) 넣은 이유는 그냥 부등호에 \(=\) 없애주고 싶어서 (...))
이제 덧셈과 곱셈이 잘 나눠짐을 증명해야 하는데, 이건 \(x\)에 \(r_n\), \(y\)에 \(s_m\)을 달아주고 \(r_n+s_m\)을 생각하면 일단 \(r_n+s_n\) 자체는
$$ r_{n+1}+s_{n+1}\ge \frac{r_n+s_n+s+y}{2}$$
를 만족하고 따라서 \(h_n=r_n+s_n\)이라고 하면 \(h_n\)은 \(x+y\)에 잘 정의된 유리수 수열이에요. 그리고 \(n\ge m\)이라면
$$ r_m+s_n\le h_n$$
이 되고, 따라서 \(f(r_m)+f(s_n)\le f(h_n)\)으로 \(m\)을 고정하면 \(f(r_m)+f(y)=f(r_m)+\lim f(s_n)\le \lim f(h_n)=f(x+y)\)이 만들어지고, \(m\)도 똑같은 짓을 하면 \(f(x)+f(y)\le f(x+y)\)가 만들어져요. 이제 반대로 \(m\ge n\)이라고 하면
$$ r_m+s_n\ge h_n$$
이 되고, \(n\)을 고정해서 \(f(x)+s_n\ge h_n\)을 만들면 \(f(x)+f(y)\ge f(x+y)\)도 만들 수 있어요. 따라서 등호가 만들어지지요!!
곱셈...은 먼저 덧셈하고 똑같이 \(r_n,s_n,h_n\)을 잡는다면 일단 \(n\)을 고정시키면 적당한 \(M\)이 있어서 \(m,\ell>M\)이면 \(h_n<r_ms_{\ell}\)이고, 따라서 \(\ell\)을 먼저 올리고 \(m\)을 올리고 마지막으로 \(n\)을 올리면 \(f(xy)\le f(x)f(y)\)가 만들어지고, 거꾸로 \(n\)이 엄청 크면 모든 \(M\)에 대해서 적당한 \(N\)이 있어서 \(n>N\)이면 \(m,\ell<M\)일 때 \(r_ms_{\ell}<h_n\)이고, 이젠 \(n\)을 먼저 올리면 \(M\)에 대한 제한이 사라지고 따라서 \(m,\ell\)을 마음껏 올라면 \(f(x)f(y)\le f(xy)\)도 만들 수 있고 따라서 \(f(x)f(y)=f(xy)\)도 만들어져요.
저 순서 보존한다는 건 단사 증명할 때 이미 했어요 (!!)
증명이 끝났어요!!...는 죽는 줄 알았네 (...) 뒤로 갈수록 귀찮아서 설렁설렁 했어...
이렇게 해서, 실수 체계가 "존재"한다면 "유일"함을 증명했어요!!
음... 그렇다면 실수 체계가 아예 없을 수도(...) 있는데, 우리가 잘 알고 있는 실수 체계. 그러니까 real field를 하나 찾으면 실수의 구성은 완전히 끝나요. 전 이 chapter에선 극한을 쓰긴 너무 싫으니... 이미 저 위에 말만 안 했을 뿐이지 많이 썼구나... 극한이라기보단 supreme 정의도 안 했지만 supreme 취했다고 보면 되려나. 전 이렇게 구성할 거예요.
으악... 역시 real field만 정의하고 극한 나갔어야 했나... 극한 안 쓴다고 이 모양으로 증명했으니... 그리고 생각해보니까 real field 하나 찾는 건 극한으로 하잖앜ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㄱㅋㅋㄱㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
어쨌든, 다음엔 극한 나갈 거고, 그걸로 real field를 하나 찾을 거예요 (!!)
2. Limit
이제 우리는 극한을 공부할 거예요!!
고등학교 2학년 수학을 한 사람이라면 알겠는데, 극한을 공부할 때 "끝없이 가까이 가는 수"라는 걸 생각할 거예요. 음음... 그러니까... \(\lim_{x\to 1}x\)같은 것은 \(1\)인데, 이건 사실 완전한 \(1\)이 아닌 그냥 \(1\)에 무한히 많이 가까운 수로. 하지만 정작 나오는 값은 정상적인 실수로 나오지요 (...) 그냥 극한은 대입.
음음... 어... 예를 들어서
$$ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}$$
을 계산한다고 해봐요?? 그러면 여기에 그냥 \(1\)을 넣으면 안 돼요!! 왜냐하면 그랬다간 \(\frac{0}{0}\)꼴. 고2때 제 담임쌤이 말하기를 응꼴이 나오기 때문이지요. 여기에선 절대로 \(x-1\)은 \(0\)이 아니에요!! 그래서, 이런 문제를 풀 때는 분자를 인수분해해서
$$ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x-2)=-1$$
라고 계산할 수 있지요.
음음... \(x-1\)은 \(0\)이 될 수 없는데 \(x-2\)는 \(-1\)이 되었ㄴㅔ...
그럼 다음과 같은 예제도 볼 거예요.
$$ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}$$
이건 말할 것도 없이 \(0\)인데, 위에서 봤듯 그냥 여기에 \(0\)을 대입하면 안 돼요. 그러니까, 분모의 \(x\)는 \(0\)으로 간다고 해서 그냥 \(0\)이 되지 않아요. 이렇게 풀어야지요!!
$$ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0}x$$
...에에에?????????? 이거 \(0\) 아니라매!!
어떻게 해결해야 할까요... 여기 chapter에선 일단 \(n\)이 무한대로 갈 때만 생각할 거예요.
먼저 \(\Bbb{R}\)이 real field일 때 \(x\in \Bbb{R}\)이면 절댓값을
$$ |x|=\begin{cases} x\text{ If }x\ge 0 \\ -x \text{ If }x<0\end{cases}$$
라고 정의할께요. 그렇다면 다음 성질들이 있어요.
(1) \(x,y\in \Bbb{R}\)이면 \(|x+y|\le |x|+|y|\)
(2) 마찬가지로 \(|x-y|\ge |x|-|y|\)
(3) 마찬가지로 \(|xy|=|x||y|\)
셋 다 증명은 많이 쉬우니까 언습문제로 넘길께요 (??)
절댓값의 의미는 중1 수학을 잘 한 사람이라면 모두 알겠지만 거리를 뜻하는 거겠죠??
다음을 정의할께요!!
정의 2.1. \(\Bbb{R}\)이 real field라고 하자. 그리고 \(\{a_n\}\)이 \(\Bbb{R}\) 안의 수열이라고 할 때, 이것이 \(a\in \Bbb{R}\)로 수렴한다는 것은 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 적당한 자연수 \(N\)이 있어서 \(n>N\)이라면
$$ |a-a_n|<\varepsilon$$
을 만족하는 것이다. 그리고 이 때, \(a=\lim_{n\to \infty}a_n\)이라고 쓴다.
연습문제 2.1. 어떤 real field \(\Bbb{R}\) 안에서 \(x\in \Bbb{R}\)이 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 \(|x|<\varepsilon\)을 만족한다네요. 그렇다면 \(x=0\)임을 증명해주세요!!
이 연습문제는 중요한데, "그 어떤 것보다 작으면서 \(0\)보다 큰 수"따윈 없다는 걸 알려주기 때문이에요. 그리고 여러가지 등식을 증명할 때도 중요하게 쓰이는데, 저저 위에 제가 real field가 있다면 유일함을 증명할 때도 이걸 슬쩍 썼어요(...)
자, 저 정의는 무엇인가(...) 음... 우리는 극한을 생각할 때 으음... \(\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\)을 생각한다고 해봐요. 그렇다면 이것은 \(0\)으로 수렴하는데, 왜 \(0\)으로 수렴한다고 생각해요??
이거 잘 생각해보면 \(n\)이 커지면 커질수록 \(\frac{1}{n}\)은 \(0\)으로 점점 더 가까이 다가간다는 식으로 이해할 수 있어요!! 그러니까, 어떤 \(\varepsilon>0\)이 있더라도, 충분히 큰 \(n\)에 대해선 \(\frac{1}{n}<\varepsilon\)이 된다는 식으로. 그리고 충분히 큰 \(n\)이란 건 \(\varepsilon\)에 의존하는 자연수 \(N\)이 있어서 \(n>N\)이라는 식으로 바꿀 수 있지요.
이렇게 말하면 극한의 정의를 이해할 수 있겠지요??
여기에서 어떤 real field \(\Bbb{R}\)의 수열 \(\{a_n\}\)이 서로 다른 두 수에 동시에 수렴할... 수 있나요?? 그렇지 않아요?? 의심해 본 적 없나요?? 어떤 수열이 수렴한다고 할 때 맨날 수 하나에만 수렴했는데, 두 수에 동시에 수렴하는 변태같은 경우!!
당연히 이런 경우는 없어요(...) \(\{a_n\}\)이 서로 다른 두 수 \(a,b\)에 수렴한다고 할 때 \(\varepsilon=\frac{|b-a|}{3}\)라고 하면 적당한 \(N\)이 있어서 \(n>N\)이면
$$ |a-a_n|<\varepsilon,\,\,\,\,\,|b-a_n|<\varepsilon$$
이고, 따라서
$$ |a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|=\frac{2}{3}|b-a|$$
고, 여기에서 \(a=b\)가 나오고 모순이지요!!
다음을 증명할 거예요.
정리 2.2. 어떤 real field \(\Bbb{R}\) 위의 각각 \(a,b\)로 수렴하는 두 수열 \(a_n,b_n\)에 대해서
(1) \(\lim_{n\to \infty}(a_n+b_n)=a+b\)
(2) \(\lim_{n\to \infty}(a_nb_n)=ab\)
(3) \(\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a}\) (Where \(a_n\) and \(a\) are nonzero.)
증명) (1)은 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해수 적당한 \(N_1\)이 있어서 \(n>N_1\)이면
$$ |a-a_n|<\frac{\varepsilon}{2}$$
이고, 마찬가지로 적당한 \(N_2\)가 있어서 \(n>N_2\)라면
$$ |b-b_n|<\frac{\varepsilon}{2}$$
가 돼요. 그렇다면 \(N=\mathrm{max}\{N_1,N_2\}\)라면 \(n>N\)일 때
$$ |a+b-a_n-b_n|\le |a-a_n|+|b-b_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$
이 되지요.
(2)도 비슷해요. 먼저 다음을 소개할께요.
정의 2.3. 어떤 real field 위의 수열 \(\{a_n\}\)이 bounded란 것은 적당한 \(M>0\)이 있어서
$$ |a_n|<M$$
for all \(n\in \Bbb{N}\)인 것이다.
이건 그냥 수열이 어느쪽이든 무한히 퍼지지 않는다는 걸 뜻해요. 예를 들면 \(\left\{\frac{1+\frac{1}{n}\right\}\)는 양 옆으로 막혔으니 bounded고 \(\{n\}\)는 오른쪽으로 무한히 퍼지니 bounded가 아니지요.
정리 2.4. 모든 수렴하는 수열은 bounded다.
증명) 당연하지 않나요?? 수렴하는데 무한히 퍼지는 건 없어요... 좀 더 엄밀히 말해본다면, \(\{a_n\}\)이 \(a\)로 수렴하면, \(\varepsilon=1\)이라고 두면 적당한 \(N\)이 있어서 \(n>N\)이면 \(|a-a_n|<1\)이고, 이제
$$ M=\mathrm{max}\{|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_N|,|a|+1\}$$
이라고 두면 \(n>N\)일 때 \(1>|a-a_n|\ge |a|-|a_n|\)에서 \(|a_n|<|a|+1\le M\)이고, \(n\)이 \(N\)보다 작거나 같으면 유한개니까 저기 다 넣어줬고...
그렇다면, (2)의 증명으로 돌아와서,
$$ |ab-a_nb_n|=|ab-ab_n+ab_n-a_nb_n|\le |a||b-b_n|+|b_n||a-a_n|$$
이라고 계산할 수 있어요. \(b_n\)은 수렴하는 수열이니까 \(M>0\)이 있어서 \(|b_n|<M\)이에요. 따라서 저건
$$ \le (|a|+1)|b-b_n|+M|a_n-a|$$
가 되겠지요??
이제 \(\varepsilon>0\)일 때 적당한 \(N_1\)이 있어서 \(n>N_1\)이면
$$ |a-a_n|<\frac{\varepsilon}{2M}$$
이고, 마찬가지로 \(N_2\)가 있어서 \(n>N_2\)라면
$$ |b-b_n|<\frac{\varepsilon}{2(|a|+1)}$$
이고, 따라서 \(N=\mathrm{max}(N_1,N_2)\)라고 하면 \(n>N\)일 때
$$ |ab-a_nb_n|\le (|a|+1)|b-b_n|+M|a-a_n|<(|a|+1)\frac{\varepsilon}{|2(a|+1)}+M\frac{\varepsilon}{2M}=\varepsilon$$
이니까 증명이 끝나요!!
이건 딴 말이긴 한데, 해석학에서 무언가를 증명할 때는 껴맞추는 게 많아요. 예를 들면 저기에서 \(|a|\)를 뜬금 없이 \(|a|+1\)로 바꿨는데, 여기에서 \(1\)은 무슨 심오한 의미가 있는 건 아니고, 그냥 \(a=0\)일 수도 있으니까(...) 그 경우를 제외하기 위한 거예요.
그러다 보니까 해석학에선 그게 본질적이라기보단 그 방법이 그냥 최선의 계산 방법이니까 있는 게 많고, 이걸 대수학자들은 싫어하는 모양이에요.
이제 (3)을 증명할께요. 이것도 그냥 써주면
$$ \left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right|=\frac{|a-a_n|}{|aa_n|}$$
이 되고, \(a_n\)이 \(0\)으로부터 충분히 멀리 떨어져 있음을 생각해야 해요 안 그러면 저건 \(\varepsilon\)으로 가둘 수 없게 돼요!! 그리고 이건 쉽게 증명할 수 있는데, \(\varepsilon=\frac{|a|}{2}\)라고 한다면 적당한 \(N'\)이 있어서 \(n>N'\)이라면
$$ |a|-|a_n|\le |a-a_n|<\varepsilon=\frac{|a|}{2}$$
고, 따라서 \(n>N'\)이면 \(|a_n|>\frac{|a|}{2}\)예요. 따라서
$$ m=\mathrm{min}\left\{\frac{|a|}{2},|a_1|,|a_2|,\cdots,|a_{N'}|\right\}$$
라고 하면 \(|a_n|\ge m>0\) for all \(n\in \Bbb{N}\)이고, 따라서
$$ \frac{|a-a_n|}{|aa_n|}\le \frac{|a-a_n|}{|a|m}$$
이 돼요. 그렇다면 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 적당한 \(N''\)이 있어서 \(n>N''\)이라면
$$ |a-a_n|<m|a|\varepsilon$$
이고, 따라서
$$ \left|\frac{1}{a}-\frac{1}{a_n}\right|\le \frac{|a-a_n|}{|a|m}<\frac{|a|m\varepsilon}{|a|m}=\varepsilon$$
이 되지요.
연습문제 2.2. \(\sigma:\Bbb{N}\to \Bbb{N}\)이 전단사함수라네요. 그렇다면 어떤 real field \(\Bbb{R}\) 위의 \(\{a_n\}\)이 수렴할 때 \(b_n=a_{\sigma(n)}\)로 정의하면 이것도 수렴할까요??
연습문제 2.3. (1) \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\)은 모든 real field \(\Bbb{R}\)에서 수렴하는 수열임을 보이고 그 수렴값은 \(0\)임을 보여주세요!!
(2) 계수가 실수인 두 다항식 \(p,q\)가 있대요. 그렇다면 이 두 다항식의 최고차항이 같은 차수를 가지고
$$ p(x)=a_dx^d+\cdots,\,\,\,\,\, q(x)=b_dx^d+\cdots$$
라고 쓴다면
$$ \lim_{n\to \infty}\frac{p(n)}{q(n)}=\frac{a_d}{b_d}$$
임을 증명해주세요!!
(3) (monotone convergence theorem) 수열 \(a_n\)이 있대요. 그러면 이것이 \(a_n\le a_{n+1}\)을 만족한다면 이는 수렴하는 수열임을 증명해주세요.
이제, 우리는 한 가지를 생각할 건데, Cauchy sequence라는 거예요!! 이건 사실 real field 위에선 수렴하는 수열하고 아무런 차이가 없지만, 좀 더 general setting을 생각하면 Cauchy sequence는 그 무엇보다도 중요해져요!!
정의 2.5. 어떤 real field \(\Bbb{R}\) 위의 수열 \(\{x_n\}\)이 Cauchy sequence라는 것은 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 적당한 \(N\)이 있어서 \(m,n>N\)이라면
$$ |x_m-x_n|<\varepsilon$$
인 것이다.
어떻나요?? 뭔가 수렴성의 정의랑 그냥 똑같아 보이지만, 수렴성하곤 다르게 Cauchy sequence의 정의엔 어디에 수렴하는지에 대한 게 없어요!! 하지만 real field에선 수렴성하고 Cauchy sequence가 동치지요.
연습문제 2.4. 모든 수렴하는 수열은 Cauchy sequence임을 증명해주세요!!
다음 정말로정말로 많이 중요한 정리를 소개할께요!!
정리 2.6. (Bolzano-Weierstrass theorem) 어떤 real field \(\Bbb{R}\) 위의 bounded sequence \(\{a_n\}\)이 있다면, 이것은 수렴하는 부분수열을 적어도 하나 가진다.
음... 수렴하는 부분수열이란 게 무엇일까요?? 먼저 부분수열을 알아야 하는데, \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\cdots\) 이런 수열이 있으면 이것의 부분수열이란 \(\Bbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}\)의 infinite subset \(A\)를 생각해서 \(A\)의 원소를 작은 순서대로 \(n_1,n_2,n_3,\cdots\)로 나열한다면, \(a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\cdots\) 이런 수열을 말해요!! 직관적으로 그냥 원래 수열에서 일부분의 항만 생각하는 거예요.
이걸 어떻게 이해하면 좋을까?? 수열을 그냥 실직선에 뿌려요. 그렇다면 bounded라는 성질을 생각하면 양 옆으론 수열의 항이 하나도 없고, 한 군데에 수열의 항이 몰려있어야 해요. 근데, 그렇게 몰려있으면 어디선간 뭔가 수열의 항이 마구마구 찍히는 데가 있을 거고, 그곳이 바로 수렴하는 부분수열이 있는 데예요!!
증명) 모든 \(a_n\)들을 우리가 잘 아는 10진법으로 나타낼 거예요!!
$$ 0.99999\cdots=1.0000\cdots$$
같이 두 가지 표현방법이 있는 건 편의상 왼쪽을 선택하도록 할께요.
그렇다면 \(a_n\)들 중에선 먼저 자연수부분이 같은 게 무한히 많이 있어요!! 이를 밑첨자가 작은 순서대로 \(a_{n_{1,1}},a_{n_{1,2}},\cdots\)이렇게 쓸께요. 이는 모두 자연수부분이 같은 \(\{a_n\}\)의 항들이에요. 그리고 그 자연수항을 \(d_0\)라고 쓸께요. 그러면 \(|a_{n_1}-d_0|<1\)이 돼요.
\(n_1=n_{1,1}\)이라고 할께요
이제 \(a_{n_{1,1}},a_{n_{1,2}},\cdots\)들 중에선 소숫점 아래 첫째자리가 같은 숫자들이 무한히 많아요. 아니어서 각 자리마다 \(N\)개 이하만 있다면 항이 \(10N\)개까지밖에 없어야 하는데 무한히 많잖아요!! 이제 소숫점 아래 첫째자리가 같은 숫자들을 \(a_{n_{2,1}},a_{n_{2,2}},a_{n_{2,3}},\cdots\)라고 쓰고 그 자리를 \(d_1\)이라고 쓸께요.
\(n_2=n_{2,1}\)이라고 할께요. 그렇다면 \(|a_{n_1}-d_0.d_1|<\frac{1}{10}\)이 돼요.
똑같은 방법으로 \(n_3,n_4,n_5,\cdots\)를 잡을 수 있고, 그러면 \(|a_{n_k}-d_0,d_1\cdots d_k|<\frac{1}{10}^k\)가 돼요. 따라서
$$ |a_{n_k}-d_0.d_1d_2d_3\cdots|<\frac{2}{10^k}$$
가 되고, \(a_{n_k}\)는 \(a_n\)의 부분수열이면서 \(d_0.d_1d_2d_3\cdots\)에 수렴하지요.
연습문제 2.5. (★) Bolzano-Weierstrass theorem을 다른 방법으로 증명해주세요!! 힘들다면, peak란 개념을 이용하도록 해요. peak란 대충 말해서 수열 하나에 대해서 이후 항들보다 모두 작은 항을 얘기해요.
연습문제 2.6. (Cantor의 대각선 논법) (△) 어떤 집합이 countable이란 것은 그 집합의 원소들을 잘 나열해서 \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) 이렇게 나열할 수 있다는 걸 말해요. 좀 더 엄밀하게는 \(A\)가 유한집합이거나 적당한 전단사함수 \(f:\Bbb{N}\to A\)가 있으면 \(A\)를 countable이라고 해요. 그렇다면, 위에서 제가 Bolzano-Weierstrass theorem을 증명하기 위해서 썼던 지릿수 논법과 귀류법을 이용해서 \(\Bbb{R}\)은 countable이 아님을 증명해주세요. 이것의 증명은 말 그대로 대각선을 생각해요.
우리는 이제 다음을 증명할 거예요.
정리 2.7. real field \(\Bbb{R}\)이 있을 때, 이 real field 안의 Cauchy sequence는 모두 수렴하는 수열이다.
증명) 먼저 Cauchy sequence가 bounded임을 증명할 거예요. 이것의 증명은 그냥 적당한 \(N\)이 있어서 \(m,n>N\)이면 \(|x_m-x_n|<1\)이고, \(m\) 고정해서 \(|x_n|<1+|x_m|\) 만들고, 그냥 위에서 수렴하는 수열은 bounded임을 증명할 때랑 똑같이 해주면 돼요.
이제 Cauchy sequence에 대해서 Bolzano-Weierstrass theorem을 쓸 수 있어요. 그 부분수열을 \(x_{n_k}\)라고 쓰고 수렴값을 \(x\)라고 쓸께요. 그렇다면 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 적당한 \(N\)이 있어서 \(k,m>N\)이면
$$ |x_{n_k}-x_m|<\frac{\varepsilon}{2}$$
이고, 적당한 \(N'\)이 있어서 \(k>N'\)이면
$$ |x_{n_k}-x|<\frac{varepsilon}{2}$$
이니까 음음 \(k>\mathrm{max}\{N,N'\}\)에 \(m>N\)이라면
$$ |x_m-x|\le |x_m-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$
이 되어서 증명이 끝나네요!!
Cauchy sequence는 딱 보면 어디에 수렴할지에 대한 정보가 없어요. 사실 Cauchy sequence가 수렴한다는 정리는 수렴할지에 대한 정보 없이 오로지 "실수의 성질"에 의존하지요. 만약에 \(\Bbb{R}\)이 아니라 \(\Bbb{R}\setminus \{0\}\)으로 수열이 있는 곳을 바꾼다면 저건 꼼짝없이 거짓이에요!!
음... 여기에서 조금 생각해볼 게 있어요. Cauchy sequence는 분명 어디에 수렴할지에 대한 정보가 없고, 은근 "구멍일 메우는 역할"을 한단 말이에요?? 분명 Cauchy sequence는 \(\Bbb{R}\)에는 수렴하...고... 어... 음... 아... 예...
구멍을 채운다??
정리 2.8. real field는 적어도 하나 있다.
드디어 중3 들어와서 학교에서 가장 먼저 배울 실수에 대한 걸 완벽히 끝마칠 때가 왔어요 (...)
유리수의 조밀성을 생각할 때, 모든 실수는 거기로 수렴하는 유리수 수열이 있어 보여요. 당연하잖아요?? 당장 자릿수 표현만 봐도... 그렇다면, 실수 자체를 "유리수 수열"이라고 볼 거예요(!!) 이를 Cantor라는 수학자가 처음 했다고 하네요. 19세기 말에 집합이란 개념을 처음 만든 그 유명한 수학자
증명) (Cantor) 먼저, \(\Bbb{R}^*\)를
$$ \Bbb{R}^*=\left\{\{x_n\}_{n\in \Bbb{N}}|x_n\in \Bbb{Q},\text{ and }\{x_n\}\text{ is a Cauchy sequence }\right\}$$
라고 정의해요. 이건 잘 정의되어 있는데, 사실 Cauchy sequence란 건 그리고 \(\{x_n\},\{y_n\}\in \Bbb{R}^*\)라고 잡으면 이 둘이 equivalent하다는 것을
$$ \{x_n\}\sim \{y_n\}\iff \text{For all }\varepsilon>0,\text{ there is }N\text{ s.t. } |x_m-y_n|<\varepsilon\text{ for }m,n>N$$
이라고 정의할께요. 여기에서 아직 실수가 있는지조자 모르니까 여기에 나오는 \(\varepsilon\)은 유리수라고 봐주세요!!
그렇다면 이는 equivalence relation이 돼요. 먼저 \(\{x_n\}\sim \{x_n\}\)은 당연하고, 순서 바꾸어도 된다는 것도 당연해요. 그렇다면 세 번째는 모든 \(\varepsilon>0\)에 대해서 적당한 \(N_1\)이 있어서 \(m,n>N_1\)이라면
$$ |x_m-y_n|<\frac{\varepsilon}{2}$$
이고, 마찬가지로 적당한 \(N_2\)가 있어서 \(n,k>N_2\)라면
$$ |y_m-z_k|<\frac{\varepsilon}{2} $$
가 되지요. 그렇다면 \(m,n,k>\mathrm{max}(N_1,N_2)\)일 때
$$ |x_m-z_k|\le |x_m-y_n|+|y_n-z_k|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$
이고, equivalence relation이 되지요.
그렇다면 저저 위 연습문제에서 \([a]\)를 정의했을 거예요. 지금 보니까 이 글 최초의 연습문제구나... 어쨌든,
$$ \Bbb{R}=\{[\{x_n\}]|\{x_n\}\in \Bbb{R}^*\}$$
로 정의할께요. 바로 실수지요!!
그렇다면 여기에 순서를 정의할 건데, \([\{x_n\}]<[\{y_n\}]\)이란 건 적당한 \(N\)과 적당한 유리수 \(d\)가 있어서 \(n>N\)이면
$$ x_n+d<y_n$$
을 만족하는 걸로 정의할께요. 이는 잘 정의되는데, \(\{x_n\}\)쪽에 \(x'_n\)을 또 뽑고, \(y_n\)쪽엔 \(y'_n\)을 뽑을께요. 그렇다면 \(\varepsilon=\frac{d}{3}\)이라고 한다면 적당한 \(N\)이 있어서 \(n>N\)이면
$$ x'_n<x_n+\varepsilon,y'_n<y_n+\varepsilon$$
이 될 거고, 따라서
$$ x'_n+\frac{d}{3}<y'_n$$
이 되니까 순서는 잘 정의돼요.
이제 이게 least upper bound property라고 불리는, upper bound가 있으면 least upper bound가 있는지 확인해야 하는데, 음... 귀찮아... ㄸㄹㄹ
대충 말하자면, 실직선을 점점 잘게 쪼개요. 그렇다면 저 Cauchy sequence는 얼마나 잘게 쪼개든 어떤 단편 중 하나엔 가야 하고, 우리가 least upper bound를 찾고자 하는 집합하고 교집합이 공집합이 아닌 단편들을 생각하고, 그 단편들 중 가장 오른쪽에 있는 단편을 생각해요. 이제 단편을 점점 잘게 쪼개면 그 단편의 오른쪽 끝으로 Cauchy sequence를 만들 수 있고, 그 Cauchy sequence가 바로 least upper bound예요.
좀 더 자세하겐, 다음을 생각해요.
$$ A_n=\left\{\left[\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right]|k,n\in \Bbb{Z}\right\}$$
그리고 \(A\subseteq \Bbb{R}\)이 upper bound를 가진다고 하고 \(B_n=\{I\in A_n|I\cap A\ne \varnothing\}\)이라고 하면 오른쪽 끝값이 가장 큰 \(B_n\)의 원소를 생각해서 그걸 \(I_{n}\)이라고 할께요. 그리고 그 끝값을 \(a_n\)이라고 하면 \([a_n]\)이 least upper bound예요!! 증명은 먼저 upper bound란 건 자명하게 나오고 더 작은 upper bound가 있다면 어쨌든 차이 \(d\)가 있으니까 적당히 큰 \(n\)에 대해서 단편이 \([a_n]\)하고 그 upper bound를 동시에 감싸지 못 할 때가 나와요. 그러면 \([a_n]\)의 정의에 따라서 그 upper bound보다 \(d-\frac{1}{2^n}\)만큼은 큰 \(A\)의 원소를 잡을 수 있고, 이는 모순이지요!!
이제... 아... 덧셈과 곱셈을 정의해야 하는데(...) 귀찮아... ㄸㄹㄹ 그냥 덧셈은 \([x_n+y_n]\)으로, 곱셈은 \([x_ny_n]\)으로 정의하면 되겠죠?? 그렇다면 field가 된다는 건 거의 자명하다시피 얻을 수 있어요.
이러면...됐겠...지??
연습문제 2.7. 저기 정리 2.8을 증명할 때 equivalence relation을
$$ \{x_n\}\sim \{y_n\}\iff \text{For all }\varepsilon>0,\text{ there is }N\text{ s.t. }|x_n-y_n|<\varepsilon\text{ for }n>N$$
으로 정의를 바꾸어도 똑같음을 증명해주세요.
연습문제 2.8. (★) ordered field \(k\)에 대해서 다음 셋은 동치임을 증명해주세요!! 단 제가 위에서 증명한 real field의 유일성 정리를 쓰지 말고요
(1) 모든 단조증가함수는 수렴한다.
(2) 모든 upper bound가 있는 subset은 least upper bound를 가진다.
(3) 모든 Cauchy sequence는 수렴하는 수열이다.
여기에서 수렴성의 정의는 real field랑 똑같이 할께요. 사실 수렴성의 정의나 Cauchy sequence의 정의 자체는 real field의 성질에 의존하지 않아요.
연습문제 2.8. (p-adic numbers) (★) (△) Cantor는 저 방법을 통해서 실수를 만들었어요. 근데 이거, 실수 만들 때 뿐만 아니라, 아예 다른 걸 만들 수도 있어요!! 그 대표적인 예가 p-adic numbers예요.
Appendix
\(A,B\)가 두 set이라고 할 때 \(A\)와 \(B\)의 cartesian product를
$$ A\times B=\{(a,b)|a\in A\text{ and }b\in B\}$$
라고 정의할께요. 여기에서 \((a,b)\)는 그냥 좌표평면 놀이할 때 자주 나오는 그 순서쌍. 좀 더 엄밀히 정의하자면 \((a,b)=\{a,\{a,b\}\}\)라고 정의할 수 있긴 해요.