고등학교 미적분을 하다 보면, 이런 기호를 볼 수 있을 거예요.
$$ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}t$$
그리고 실사용례를 보자면 다음과 같은 chain rule같은 거
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$
여기에서 \(y\)는 \(x\)에 대한 함수, \(x\)는 \(t\)에 대한 함수일 때
적분하다가도 보여요!! 이렇게
$$ \int x^4\,\mathrm{d}x=\frac{1}{5}x^5+C$$
$$ \int f(x)f'(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}f(x)^2+C$$
$$ \int^{\infty}_{0}e^{-x}\ln{x}\,\mathrm{d}x=-\gamma$$
여기에서 뒤에 붙은 \(\mathrm{d}x\)는 무엇을 뜻할까요??
치환적분법을 볼께요
$$ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(g(t))g'(t)\,\mathrm{d}t$$
우리는 다음과 같이 볼 거예요!!
$$ g'(t)\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}(g(t))$$
...?? \(y=g(t)\)라고 한다면 이는 다음과 같이 표현할 수 있어요.
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=\mathrm{d}y$$
그냥 약분이에요!!
그래서, 다음부터 우리는 치환적분법을 고등학교 미적분에 나오는 식으로 표현하는 게 아니라, 이렇겨 표현할 거예요!!
$$ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(y)\,\mathrm{d}y$$
뭔가 간단해졌어요!!
이거가지고 뭔가를 계산해본다면,
$$ \int (x^2+x)^{10}(2x+1)\,\mathrm{d}x$$
같은 것이 있어요. \(x^2+x=y\)라고 하면, \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x+1\)가 되고, 따라서 \((2x+1)\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\)가 돼요. 따라서 그냥 저걸
$$ =\int y^{10} \,\mathrm{d}y=\frac{1}{11}y^{11}+C=\frac{1}{11}(x^2+x)^{11}+C$$
라고 계산할 수 있죠
우리가 하고자 하는 것은 "안의 함수가 아닌 \(\mathrm{d}\)붙은 거 중심으로 보기"예요!! 그리고 이것이 만족해야 할 것으로 다음들이 있을 거예요.
$$ \mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$$
$$ \mathrm{d}(f+g)=\mathrm{d}f+\mathrm{d}g$$
$$ \mathrm{d}(fg)=(\mathrm{d}f)g+f(\mathrm{d}g)$$
우리는 이런 \(\mathrm{d}f\)꼴들을 모아서 1-form이라고 할께요!!
좀 더 고차원으로 올라갈께요. 2차원으로 올라간다면, 미분은 Jacobian이라는 형태로 표현돼요. 왜냐하면 chain rule때문에. 2차원으로 올라가면 chain rule은 더이상 그냥 "약분"이 아니라 "행렬"이란 형식으로 표현되어야 하거든요. \(f=f(x,y)\)가 있고 \(x,y\)가 모두 \(t\)에 대한 함수로 표현된다면
$$ \frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$
이렇게. 그렇다면, 뭔가 안 될 짓을 하는 것 같지만(...) 양변에 \(\partial t\)를 곱해서(!!) 이렇게 생각해봐요.
$$ \mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y$$
그렇다면, \(F(x,y)=(f_1(x,y),f_2(x,y))\)라고 한다면, 이렇게 표현할 수 있을 거에요.
$$ \mathrm{d}F(x,y)=\mathrm{d}\begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \end{pmatrix} $$
여기에서 우변에 곱해진 행렬은 \(F\)의 Jacobian이라고 불리는 거예요. 이것은 직관적으로 좌표평면에다가 \(F\)를 막 화살표 그리면서 나타낼 때, local하게 \(F\)가 어딜 향하느냐를 뜻해요. 1차원 미분도 그렇잖아요?? 미분이란 어딜 향하느냐를 뜻해요!! 접선의 기울기란 것도 결국 그 접선은 그 그래프가 향하는 방향을 뜻할 테니까요. 처음 애들이 Jacobian 할 때 엄청 어렵게 생각하는데, 결국 접선의 기울기에서 벗어나지 않아요
그럼 적분도 1차원을 넘어서 2차원으로 갈께요. 그렇다면 적분은
$$ \int_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
이렇게 표현될텐데, 여기다가 \(F(x,y)\)를 대입해요!! 그렇다면
$$ =\int_{F^{-1}D}f(f_1(x,y),f_2(x,y))\mathrm{d}(f_1(x,y))\mathrm{d}(f_2(x,y))$$
가 돼요!! 그리고 이를 치환적분이라고 해요. 좀 더 깔끔하게?? 표현하다면 Jacobian을 \(J_{F}\)라고 표현한다면 이것은 다음과 같이 쓸 수 있어요.
$$ =\int_{F^{-1}D}f(f_1(x,y),f_2(x,y))|\det(J_{F})|\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
여기에서 Jacobian을 그냥 쓰지 않고 determinant에다가 절댓값까지 씌운 이유는 뒤에 있는 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)가 그냥 있는 게 아니고, 뭔가 structure가 더 있기 때문이에요.
이것의 직관적 의미는 이래요. 첫번째야 그냥 대입(...)으로 이해할 수 있고, 두번째는 저 determinant, 넓이를 의미해요. 저저 대입할 때 리만적분의 그 사각형이 왜곡(??)되는데, 그 왜곡된 사각형 넓이와 원래 사각형 넓이 비가 딱 저거거든요.
우린 wedge product란 걸 생각할 거예요. 일단 이렇게 1-form들을 어거지로 붙혀요
$$ \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$
그리고 다음을 생각할 거예요.
Definition. \(k\)가 field고 \(V\)가 vector space라고 하자. 그렇다면 \(B:V\times V\to k\)가 bilinear form이란 것은 다음 세가지를 만족할 때를 말한다.
(1) \(B(ax,y)=B(x,ay)=aB(x,y)\) for all \(a\in k\) and \(x,y\in V\).
(2) \(B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)\) for all \(x,y,z\in V\).
(3) \(B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z)\) for all \(x,y,z\in V\).
그리고 다음도 만족할 때, \(B\)는 alternating form이라고 한다.
(4) \(B(x,y)=-B(y,x)\) for all \(x,y\in V\).
당연히 1-form들의 집합은 \(\Bbb{R}\) 위의 vector space고, \(\wedge\)를 그냥 alternating form으로 생각할 거예요.
예를 들면, 이렇게
$$ \mathrm(d)x\wedge\mathrm{d}(x^2y)=\mathrm{d}x\wedge(2xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y)=x^2\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$
이게 왜 있을까...?? \(f_1(x,y),f_2(x,y)\)를 생각할 때 이건 조작하면 이렇게 돼요.
$$ \mathrm{d}f_1\wedge \mathrm{d}f_2=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$
...ㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷㄷ Jacobian이 determinant가 붙은 채로 나왔네??
사실, 일반적으로 다음이 성립해요.
좀 더 엄밀하게 생각할께요, p-form이란 걸 정의하고 싶어요!! 이것은 다음과 같이 정의돼요.
Definition. \(M\)이 smooth manifold라고 하자. 그렇다면 \(M\) 위의 p-form이란 \(M\)의 tangent bundle \(TM\)에서 \(\Bbb{R}\)로 가는 alternating form이다.
$$ \underbrace{TM\times TM\times \cdots TM}_{p}\to \Bbb{R}$$
이...렇게 표현하면 당연히 아무도 모를 것 같으니까(...) tangent bundle이란 건 직관적으로 smooth manifold. 모르겠으면 그냥 \(\Bbb{R}^2\)이라고 생각해도 되는 거. 여기의 각 점에다가 접평면. 모르겠으면 그냥 물리학에서 말하는 frame같은 걸 붙혀줬다고 생각하면 돼요. 대학교 1학년 미적분학 시간때 다 했겠지만, vector field 그리는 거 그그 화살표 그리기 다 해봤을 텐데, 그 화살표의 시작점이 바로 각 점이라고 말한 거고, 화살표 하나만 바라봤을 때, 그 화살표는 사실 그냥 벡터가 아니고 접평면 위에 있는 벡터예요!! tangent bundle은 그런 접평면들을 다 모아준 거라고 생각하면 돼요.
사실 고등학교 기하와 벡터에서 배우는 벡터도 정확힌 vector space의 벡터가 아닌, 저 tangent bundle의 section을 말해요. 벡터가 시작점이 고정된 것이 아닌 움직일 수 있잖아요??
그런 접평면은 어떤 manifold 위에서 정의된 함수가 국소적으로 어떻게 행동하는지를 결정해요. 그리고 그 국소적으로만 바라본 어떤 걸 p-form이라고 정의하는 거고요
예를 들어볼께요. 다음을 정의할께요. 간단히 \(M=\Bbb{R}^2\)이라고 하면 각 \(v=(a_1,a_2)\in T_p\Bbb{R}^2\)마다 이렇게 줘볼께요. (\(T_p\Bbb{R}^2\)이란 표현은 \(p\in \Bbb{R}^2\)을 시작점으로 하는 모든 벡터들을 모은 거라고 생각하면 돼요.
$$ \mathrm{d}x(p)(v)=a_1$$
$$ \mathrm{d}y(p)(v)=a_2$$
이것들의 의미는 각각 \(v\)가 \(x\)방향. 또는 \(y\)방향으로 얼마나 빨리 증가하는지 알려준다는 의미예요!! 그리고 모든 1-form은
$$ f_1\mathrm{d}x+f_2\mathrm{d}y$$
꼴로 표현할 수 있어요. 여기에서 \(f_1,f_2\)는 모두 \(C^{\infty}(\Bbb{R}^2)\)의 원소. 그러니까 smooth function이에요.
그렇다면, smooth function \(f:M\to \Bbb{R}\)이 있으면, 이걸 tangent bundle에다가 박제(!!)시키는 방법이 있어요. \(p\in M\)일 때 이렇게 정의하는 거
$$ \mathrm{d}f(p)=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm{d}x_i(p)$$
이것의 의미는 \(f\)를 각각의 point에 대해서 local하게 보겠다는 거예요. 여기에서 \(x_i\)들은 atlas인데, 이걸 다른 \(y_i\)로 잡아도 상관없어요. 똑같아요!! 계산은 귀찮으니 직ㅈ
2-form은 뭘까요?? 이렇게 생긴 애들일 거예요.
$$ \sin{z}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+y^199 \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x$$
여기서 alternating form을 생각하는 이유는 위에서 했어요. Jacobian의 determinant를 꺼내고 싶어서!!
딴 말을 하자면, alternating form이 생긴 이유 자체가 determinant때문에 생겼어요. determinant 구하는 과정을 보면 Gauss-Jordan을 쓰는데, 한 줄로 다른 줄을 빼도 안 바뀌고 한 줄에 상수 곱하면 맨 바깥에다가 상수 곱하는 거하고 똑같고 그러잖아요?? 딱 alternating form이란 느낌 안 드나요?? 한 줄로 다른 줄을 빼도 된다는 건 alternating form에서 (2), (3), (4)에 해당되고, 상수는 (1)에 해당돼요.
근데 여기에 기하학적 의미...가 있을까요?? 예를 들어서
$$ \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x$$
인데, 오른쪽의 \(\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x\)는 도대체 왜 있는 걸까요(...) 이건, 적분을 할 때 나와요!! orientation이라고, 적분을 어느 방향으로 할 것인지 결정해줘요!! 그렇잖아요?? 우리가 고등학교 미적분을 할 때
$$ \int^{b}_{a}f(x)\,\mathrm{d}x=-\int^{a}_{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$
이러는데, 이것은 사실 \(x\mapsto -x\)라는 함수를 생각하고, 이것의 determinant가 -1이니까 오른쪽에 -1을 붙힌 것으로 이해할 수 있어요. 그러니까 이렇게 간단해 보이는 것도 사실 치환적분이에요(!!) 그러니까, 적분에서 방향은 많이 중요해요!! 이건 Stokes' theorem을 직관적으로 이해하는 데도 너무 중요해요.
좀 더 기하학적으로 말하자면, 2-form이란 각 점마다 달린 사각형이라고 보면 되는데, 적분이란 그런 사각형들의 넓이를 죄다 더한 거라고 보면 돼요. 예를 들면
$$ \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$
는 각 점마다 가로 1, 세로 1의 정사각형을 붙힌 거고,
$$ x^2\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$
는 각 점마다 가로 \(x^2\), 세로 \(1\)의 정사각형을 붙힌 거예요. 그렇다면, 이런 사각형들에게 모두 위쪽이라는 방향을 주었다면,
$$ \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x$$
는 가로 세로가 뒤바뀌었잖아요?? 사각형을 뒤집은 거예요!! 홀라당. 그러면 가로에 있던 애는 세로로 오게 되고, 세로에 있던 애는 가로로 오게 돼요.
이제 2-form을 적분해볼께요. 먼저 form의 적분을 정의해야 할텐데, 앞으로 manifold를 parameterization이 가능한 애만 볼께요. 이렇게
$$ M=\{(x_1(\Bbb{u}),\cdots,x_n(\Bbb{u}))|\Bbb{u}\in [0,1]^k\}$$
왜냐하면 일반적으로 간다면 결국 각 점마다 atlas들을 patch하는 게 필요한데, ㄴ...네... 전 미기를 하나도 안 해서 partition of unity같은 건 모르기 때문에 어떻게 정의해야 할 지 모르겠(
vector field \((f_1,\cdots,f_k)\)에 대해서 parameter \(\Bbb{u}\)에 대해서 본 Jacobian을
$$ \frac{\partial (f_1,\cdots,f_k)}{\partial (u_1,\cdots,u_k)}$$
라고 쓸께요. 그렇다면 p-form
$$ \omega=\sum_{1\le i_1< \cdots< i_p\le n} f_{i_1,\cdots,i_p}(x_{i_1},\cdots,x_{i_p})\mathrm{d}x_{i_1}\wedge \cdots \mathrm{d}x_{i_p}$$
를 생각한다면
$$ \int_{M}\omega=\sum_{1\le i_1< \cdots< i_p\le n}\int_{[0,1]^k}f_{i_1,\cdots i_p}(x_{i_1}(\Bbb(u)),\cdots,x_{i_p}(\Bbb{u}))\det \frac{\partial (f_{i_1},\cdots,f_{i_p})}{\partial (u_{i_1},\cdots,u_{i_p})}\,\mathrm{d}u_{i_1}\cdots\mathrm{d}u_{i_p}$$
라고 쓸 수 있어요. 그리고 이걸 정의라고 할 거예요!! 의미는 각각의 componant마다 p-form을 그냥 쓸 순 없으니(...) 다 미리미리 풀어주고 det이 나올 때까지 하나하나 정성스럽게 정리해준 다음에 다 더한 거예요. Rudin의 PMA에선 저 뒷부분 Jacobian 쓴 걸 그냥 determinant라고 했는데, Rudin식으로 생각하면 모든 linear transformation이 \(\Bbb{R}\)이 공역인 것 같잖아
비록 쓰기는 이렇게 썼지만 계산은 너무나도 간단하답니다 (두둥)
$$ \int_{[0,1]^2}2x\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\int_{[0,1]^2}2x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$$
이렇게. 안에 \(\wedge\)가 있으면 그냥 붙혀줘요.
치환적분은 여기에선 어떻게 표현될까요?? \(M,N\)이 저저 parameterization이 가능한 smooth manifold라고 하고 앞으로 smooth manifold라고 하면 이거 가능한 것만 볼 거예요. \(f:M\to N\)이 smooth map이라고 할께요. 그렇다면 pullback은 다음과 같이 정의돼요. \(\omega\)가 \(N\) 위의 k-form일 때 \(p\in M\)이면
$$ f^*(\omega)(p)(v_1,\cdots,v_k)=\omega_{f(p)}(f^*v_1,\cdots,f^*v_k)$$
이렇게, 여기에서 \(f^*v\)의 의미는 \(v\)에다가 \(p\)에서의 \(f\)의 Jacobian을 곱한 거라고 생각하면 돼요.
이건 그냥 \(N\)에 있는 differential form을 \(M\)에 있는 differential form으로 옮긴 거예요. 그리고 여기에서 치환적분은
$$ \int_{f(M)}\omega=\int_{M}f^*\omega$$
라고 쓸 수 있어요!! 이거, \(M=[0,1]^k\)라고 두면 그냥 적분의 정의예요!!
정적분의 기본정리는 미적분 배운 학생이라면 모두 알 거예요. \(f'\)가 연속이면
$$ \int^{b}_{a}f'(x)\,\mathrm{d}x=f(b)-f(a)$$
이라는 거. 이거, differential form에 대해서 생각하기로 했잖아요??
$$ \int^{b}_{a}\mathrm{d}f=f(b)-f(a)$$
라고 쓰자고요.
다음을 생각해요.
$$ C_k(M)=\{\sum a_i[\sigma_i]|\sigma_i \text{ is smooth submanifold of }M\text{ and }a_i\in \Bbb{R}\}$$
$$ \Omega^k(M)=\{\text{Set of all differential }k\text{ forms }\}$$
여기에서 finite formal sum으로 정의된 \(C_k\)가 뭔지가 난관(...)인데, 적분하고 맞춰주려고 하는 거라고 생각하면 돼요!! 적분이 선형적이잖아요?? 이렇게
$$ \int_{M}(\omega_1+\omega_2)=\int_{M}\omega_1+\int_{M}\omega_2$$
그렇다면 \(C_k(M)\)의 원소를 \(k\)-chain이라고 한다면, 이것의 원소 \(a,b\)에 대해서
$$ \int_{a+b}\omega=\int_{a}\omega+\int_{b}\omega$$
가 되도록 chain의 적분을 정의해요. 그렇다면 적분은 다음과 같이 볼 수 있어요.
$$ \int:C_k(M)\times \Omega^k(M)\to \Bbb{R}$$
그렇다면 이것은 분명 perfect pairing이...아닌데(...) 어떻게 하면 perfect pairing이 되게 할 수 있을까요??
\(\mathrm{d}\)라는 걸 정의할 거예요. 뭐야. 이미 정의했잖아...라고 생각할 수 있지만, 이젠 smooth function이 아닐 \(\omega\)를 미분할 거예요(!!) \(\omega\)는 그냥 있기만 하고 각 부피요소에 대한 높이요소를 아직 미분 안 했다고요?? 미분하고 싶어요!!
$$ \omega=\sum_{1\le i_1< \cdots< i_p\le n} f_{i_1,\cdots,i_p}(x_{i_1},\cdots,x_{i_p})\mathrm{d}x_{i_1}\wedge \cdots \mathrm{d}x_{i_p}$$
라고 정의했다면
$$ \mathrm{d}\omega=\sum_{1\le i_1< \cdots< i_p\le n} \mathrm{d}f_{i_1,\cdots,i_p}\wedge \mathrm{d}x_{i_1}\wedge \cdots \mathrm{d}x_{i_p}$$
이렇게 정의하는 거. 그리고 이건 계산노가다(...)하다보면
$$ \mathrm{d}(\mathrm{d}\omega)=0$$
이 모든 \(\omega\)에 대해서 성립함을 알 수 있어요!! 그렇다면 \(\Omega^0(M)\)을 \(M\) 위의 smooth function들의 집합, \(\Omega^{-1}(M)\)은 그냥 \(\{0\}\)이라고 생각한다면
$$ \mathrm{Im}(\mathrm{d}:\Omega^{k-1}(M)\to \Omega^k(M))\subseteq \mathrm{Ker}(\mathrm{d}:\Omega^k(M)\to \Omega^{k+1}(M))$$
가 성립하고, 다음을 정의할 수 있어요.
$$ H^k_{\mathrm{dR}}(M)=\mathrm{Ker}(\mathrm{d}:\Omega^k(M)\to \Omega^{k+1}(M))/\mathrm{Im}(\mathrm{d}:\Omega^{k-1}(M)\to \Omega^k(M))$$
이를 de Rham cohomology라고 불러요!!
chain에 대해서도 이걸 생각해볼 수 있는데, boundary란 걸 정의해요. 정의가 많이 귀찮은데(...) \([0,1]^k\)에 대해서만 하면 나머지는 그냥 되긴 하는데, intuition만 줄께요!! 여기서 boundary는 방향을 생각해야 하는데, \([a,b]\)같은 경우는 방향이 \(a\)에서 시작해서 \(b\)에서 끝나잖아요?? \(a\)는 나가고 \(b\)는 들어와서 끝나버리니까
$$ \partial[a,b]=\{b\}-\{a\}$$
라고 정의해요. 안에 있는 것들은 생각 안 하고 꼭지점들만 생각하는 거예요.
정사각형을 생각하면, 이게 반시계방향으로 뭔가가 흐른다고 생각해봐요. 그렇다면 안쪽 말고 바깥쪽만 생각하니까, 아랫변은 +가 될 것 같고, 윗변은 -가 될 것 같아요. 오른쪽변은 양의 방향으로 가니까 +, 왼쪽변은 음의 방향으로 가니까 -. 이게 이것들을 부호 맞춰서 다 더해주면 돼요(...)
일반적인 차원에서도 결국 다 똑같아요. 그리고 smooth manifold같은 경우도 결국 parameterization을 하면 \(\Phi:[0,1]^k\to \Bbb{R}^n\)꼴인 무언가니까 잘 맞춰주면 되고... 그렇게 \(\partial M\)이란 걸 정의해요. 그렇다면 다음이 성립해요. $$ \partial(\partial M)=0$$
증명은 역시 노가다(...) 직관적으로 boundary에 또 boundary는 생각할 필요가 없잖아요?? 이렇게 해서, homology라는 걸 정의해요.
$$ H_k(M)=\mathrm{Ker}(\partial:C_k(M)\to C_{k-1}(M))/\mathrm{Im}(\partial:C_{k+1}(M)\to C_k(M))$$
Stokes' theorem은 다음과 같이 쓰여져요!! \(M\)이 compact smooth orientable(어떤 normal bundle의 section이 있어서 deterninant가 언제나 0을 넘음) manifold라면
$$ \int_{\partial M}\omega=\int_{M}\mathrm{d}\omega$$
어떻나요?? 많이 깔끔하지 않나요?? 1차원에서만 본다면 \(M=[a,b]\)라고 하고 \(\omega=f\). 그러니까 0-form인 smooth function이라고 하면
$$ f(b)-f(a)=\int^{b}_{a}\mathrm{d}f$$
가 그냥 나와요!! 이것은 정적분의 기본정리죠.
Stokes' theorem을 이해하고 싶다면, 이렇게 생각하면 돼요.
"경계만 생각한다. 그리고 경계에 다 몰아줘서 \(\mathrm{d}\)가 사라져버렸다."
그러면 적분할 때 저저저저저 앞에서 말했던 orientation어쩌구 때문에 저저기 \(\partial\)을 이렇게 정의한 다른 이유가 나오지요!! 리만 적분 정의할 때 partition을 생각하잖아요?? orientation이 다른 이유는 그거 제대로 된 방향으로 원소들을 나열해야 하는데 그러지 않고 반대방향으로 나열한 거예요 (...)
그리고 Stokes' theorem을 생각하면 다음은 perfect pairing이 돼요!!
$$ \int:H_k(M)\times H^k_{\mathrm{dR}}(M)\longrightarrow \Bbb{R}$$
이를 de Rham theorem이라고 해요!! chain을 하나 잡아서 생각한다면
$$ I(\omega):[c]\longmapsto \int_{c}\omega$$
이걸 생각할 수 있고, 이건 (Poincare duality때문에) \(H^k(M;\Bbb{R})\cong \mathrm{Hom}(H_k(M),\Bbb{R})\)의 원소가 되고, 이를 다음과 같이 쓸 수도 있어요.
$$ I:H^k_{\mathrm{dR}}(M)\longrightarrow H^k(M;\Bbb{R})$$
여기에서 오른쪽 cohomology는 singular cohomology예요. 정의는 귀찮으니 직접 알아ㅂ