이차방정식의 근의 공식은 대충 이렇게 생겼어요.
$$ ax^2+bx+c=0$$
을 푼다고 할 때, 이렇게
$$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
대충 \(a=b=1,c=-1\)을 대입하면 \(x^2+x-1=0\)의 두 zero는
$$ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$
가 되죠.
근의 공식이란 무엇을까요?? 저 이차방정식의 근의 공식을 보면, 계수들을 알고 있을 때 그냥 대입만 했더니 근이 툭 튀어나왔어요!!
저 근의 공식은 어떻게 만든 걸까요?? 분명 중학교 과정에서 이렇게 유도할 거예요.
$$ \begin{aligned}ax^2+bx+c=0 &\iff x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\ & \iff x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0 \\ &\iff \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ &\iff x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned}$$ 여기에서 눈여겨볼 것은, 우리는 특정한 조작만을 했어요!! 그러니까, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈밖에 쓰지 않았어요. 그리고 마지막에 제곱근도 썼는데, 이것은 부가적인 것으로 생각할께요. 사실 진짜 대수적 해법을 원하면 제곱근도 ㅃ... 읍읍
어쨌든, 우리는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근 씌우기. 이것들을 통칭해서 대수적 조작이라고 부를께요.
3차방정식의 풀이를 흔히 카르다노-타르탈리아의 해법이라고 부르는데, 이것도 결국 위 2차방정식의 해법의 패러다임에서 벗어나지 않아요. 사칙연산과 제곱근 씌우기만 쓰기. 뭔가 멋져보이는데, 결국 다 똑같아요 (...)
이건 4차방정식의 해법도 마찬가지예요
3차방정식이나 4차방정식의 해법을 외워본 적이 있나요?? 외워본 적이 있다면, 3차방정식의 해법은 분명 제곱근을 한번만 쓰고, 세제곱근도 한 번만 써요!! 그렇지 않나요?? 4차방정식은 제곱근 세번, 세제곱근 한번을 써요. 어... 뭔가 있어보이지 않나요??
5차방정식의 해법을 만들기(!!) 위해서 한 번 뻘짓을 해볼께요. 저기 2차방정식의 해법을 만들 떄, \(a,b,c\)의 사칙연산으로 \(b^2-4ac\)를 만들고, 거기에 제곱근을 씌우고, 다시 그것들과 \(a,b,c\)의 사칙연산을 생각했어요. 이제 우리는 \(a_1,\cdots,a_n\)의 사칙연산들의 집합을 이렇게 쓸께요
$$ k(a_1,\cdots,a_n)$$
여기에서 \(k\)는 field로, 그냥 사칙연산 자유로운 집합이라고 생각하세요. 아, 물론 0으로 나누기는 안 되고(...) 그렇다면 저렇게 쓴 것은 \(a_1,\cdots,a_n\)의 사칙연산뿐만 아니라 \(k\)의 원소로 더하거나 곱하는 것도 혀용한다고 생각할께요. 그렇다면, 2차방정식의 근의 공식은 \(k[a,b,c]\)의 원소 하나를
$$ x_1=b^2-4ac\in k(a,b,c)$$
라고 쓴다면
$$ k(a,b,c)(\sqrt{x_1})$$
의 원소일 거예요!! 여기에서 옆에 \(\sqrt{x_1}\)을 붙힌 건 그냥
이 생각을 좀 더 일반화할께요. 근의 공식은 반드시 이렇게 만들어지는 field 안에 있어야 해요.
(1) \(k_0=k(a_1,\cdots,a_n)\)이라고 하자. 여기에서 \(a_1,\cdots,a_n\)은 어떤 polynomial의 계수다.
(2) \(k_0\)의 원소 \(x_0\)을 적당히 하나 뽑자
(3) \(m_0\)제곱근을 생각해서 \(k_1=k_0(\sqrt[m_0]{x_0})\)라고 쓰자
(4) \(k_1\)의 원소 \(x_1\)을 적당히 하나 뽑자
(5) \(m_1\)제곱근을 생각해서 \(k_2=k_1(\sqrt[m_1]{x_1})\)라고 쓰자
(6) 위의 과정은 유한번 반복해서 \(k_n\)을 생각하자
그렇다면 근의 공식은 반드시 이렇게 해서 적당히 만들어진 \(k_n\) 안에 있어야 해요!!
이제 잠깐 수학에서 가장 위대한(!!) ideal인 Galois theory에 대해서 설명할께요. 대충 설명하자면 간단해요. field extension(포함관계 있는 두 field를 생각한 것) \(L/K\)가 있으면, 이것의 구조를 group \(G\)로 나타낸 것. \(G\)가 \(L/K\)에서 어떻게 행동하냐에 따라서 \(L/K\)가 무엇인지 완벽히 결정난다는 것!! \(G\)는 이렇게 정의해요.
$$ G=\{\sigma:L\to L|\sigma(x)=x\text{ for all }x\in K\text{ and ring homomorphism}\}$$
그리고 이것이 잘 정의되기 위해선, 그러니까 \(G\)가 정말로 \(L/K\)의 모든 구조를 가지려면 \(L/K\)가 Galois extension이어야 해요. 조건은 \(L/K\)의 degree(\(L\)을 \(K\)의 vector space로 봤을 때의 dimension)가 \(G\)의 order(그냥 \(G\)의 원소의 갯수)하고 같은 것.
그렇다면, 제곱근이라는 걸 생각하는데, 저 위 과정을 조금 바꿀 거예요. 바꾸는 이유는 간단한데, 어떤 방정식의 해가 하나가 아니잖아요?? 근데 저기선 제곱근이 뭔지도 잘 정의 안 했어요 (...) 근데 뭐 바꾸는 건 손쉬워요.
(1) \(k_0=k(a_1,\cdots,a_n)\)이라고 하자. 여기에서 \(a_1,\cdots,a_n\)은 어떤 polynomial의 계수다.
(2) \(k_0\)의 원소 \(x_0\)을 적당히 하나 뽑자
(3) 2 이상의 정수 \(m_0\)를 생각하고 \(x^{m_0}=x_0\)라는 equation의 모든 zero들을 \(x_{1,1},\cdots,x_{1,m_0}\)라고 한다면
$$ k_1=k_0(x_{1,1},\cdots,x_{1,m_0})$$
라고 하자. (저 equation의 zero들은 \(k_0\)의 algebraic closure 안엔 반드시 존재한다.)
(4) \(k_1\)의 원소 \(x_1\)을 적당히 하나 뽑자
(3) 2 이상의 정수 \(m_1\)를 생각하고 \(x^{m_1}=x_{1,1}\)라는 equation의 모든 zero들을 \(x_{2,1},\cdots,x_{2,m_1}\)라고 한다면
$$ k_2=k_1(x_{2,1},\cdots,x_{2,m_1})$$
라고 하자.
(6) 위의 과정은 유한번 반복해서 \(k_n\)을 생각하자
그냥 \(m\)제곱근이란 개념을 좀 더 strict하게 써준 것 뿐이에요. 근데 처음에 만든 \(k_n\)을 "\(m\)제곱근들 중 하나만 뽑아서 붙힌다"라는 의미로 이해한다면 둘의 의미는 조금 달라져요. 첫번째는 Galois extension이 아닌 경우가 대부분이지만, 두번째는 모두 Galois extension이거든요!! Galois extension은 해의 대칭성이 보존되는 extension이라는 의미라서요
다음을 볼 거예요. 먼저 \(L/K\)가 Galois extension이라고 하고, \(G\)가 그 Galois group이라고 할께요. 그리고 \(H\subseteq G\)가 \(G\)의 subgroup이라면
$$ L^{H}=\{x\in L|\sigma(x)=x\text{ for all }\sigma\in H\}$$
라고 정의할께요. 그렇다면 다음이 성립해요!!
Theorem. (Fundamental theorem of Galois theory) \(L/K\) 사이에 끼인 field들의 집합을 \(P\)라고 하자. 다음과 같은 1-1 correspondence가 있다.
$$ L^{H} \leftrightarrow H$$
$$ \{L/F/K\text{ where }F\text{ is a field between }L\text{ and }K\} \leftrightarrow \{\text{Subgroups of }G\}$$
그리고 이 correspondence에서 \(H\)가 normal subgroup이라는 것과 \(L^H/K\)이 Galois extension이라는 것은 동치다. 덤으로 이런 case에선 \(L^{H}/K\)의 Galois group은 \(G/H\)가 된다.
Proof) \(L/F/K\)같이 중간에 낀 field가 있다고 해봐요. 그렇다면
$$ H^{F}=\{\sigma\in G|\sigma(x)=x\text{ for all }x\in F\}$$
라고 정의할께요. 그렇다면 우린
$$ L^{H^{F}}=F$$
임을 증명해야 하는데, 먼저 \(F=K\)일 때를 볼께요. 그렇다면
$$ L^{H^{F}}=\{x\in L|\sigma(x)=x\text{ for all }\sigma \in G\}$$
가 되는데, 이것이 \(K\)임을 증명할 거예요!! 만약에 \(K\)의 원소가 아닌데도 저 field에 들어가는 element가 하나라도 있다면 그 element의 minimal polynomial을 생각할 거예요. 그 minimal polynomial을 \(p\)라고 한다면 \(p\)의 모든 zero들은 \(L\)의 원소고, 두 zero를 뽑아서 섞는 작업은 \(L\)의 automorphism으로 extend할 수 있어요. 이거 자명한데, 프렐라이에선 isomorphism extension theorem이란 이름으로 거장하게 다루더라고요 (...) 이건 분명 \(G\)의 원소인데도 \(L\)의 모든 원소를 보존하지는 못 하니까 모순이에요. 따라서 저건 \(K\)가 돼요!!
일반적으로도 비슷하게 하면 돼요. \(F\subseteq L^{H^{F}}\)는 당연하고, 반대쪽을 깨버리는 원소가 있으면 \(F\)의 원소들을 coefficient로 하는 minimal polynomial을 생각하는 방식으로
다음은 Galois extension하고 normal subgroup 사이가 동치라는 건데, 먼저 \(L/F\)가 separable extension인 건 당연해요. 그럼 normal extension이란 것만 생각하면 되는데, \(H\)가 \(G\)의 normal subgroup이라고 해봐요. 그렇다면 모든 \(G\)의 원소 \(g\)에 대해서 \(\sigma\in H\)라고 한다면
$$ g^{-1}\sigma g\in H$$
니까 \(x\in L^{H}\)면 \(x=(g^{-1}\sigma g)(x)\)가 되고, 따라서 \(gx=\sigma(gx)\)가 돼요!! 이는 모든 \(\sigma \in H\)에 대해서 성립하고, 따라서 위에서 한 걸로 \(gx\in F\) for all \(g\in G\)가 돼요!! 이는 \(x\)의 minimal polynomial을 생각하면 어떤 해를 바꾸는 작업하고도 \(F\) 안에서 논다는 뜻이니까 normal extension의 정의하고 딱 맞게 되지요!!
역은 그냥 이걸 그대로 거꾸로 가지고 가면 돼요.
마지막으로 저 quotient group 나오는 건 \(G/H\)는 \(L^{H}/K\)에 \(\sigma\in G, x\in L^{H}\)이라고 하면
$$ (\sigma+H)x=\sigma x$$
라는 식으로 act하고, 이는 잘 정의된 act예요. 이걸로
$$ G/H\longrightarrow \mathrm{Gal}(L^{H}/K)$$
라는 homomorphism을 만들 수 있어요. 잘 정의되는 이유는 \(H\)의 어떤 원소를 가져다 대도 \(x\)는 변하지 않으니까. 그리고 이것의 kernel은 위에서 한 걸로 \(0\)이고, \(L/L^{H}\)는 separable이니까 어떤 \(\alpha\in L\)이 있어서 \(L=L^{H}(\alpha)\)가 되고, \(H\)의 원소는 그 어느것도 \(\alpha\)를 고정하지 못 하고 덤으로 \(\sigma\ne \sigma'\) (둘 다 \(H\)의 원소)라면 \(\sigma(\alpha)\ne \sigma'(\alpha)\)고 모두 \(\alpha\)의 minimal polynomial의 zero들이니까 \(H\)의 order는 적어도 \(p\)의 minimal polynomial의 degree. 그러니까 \(L/L^{H}\)의 degree여야 해요!! (사실 이것은 언제나 Galois extension이고 그 Galois group은 \(H\)예요.)따라서 \(L^{H}/K\)의 degree는 \(G/H\)의 order하고 같게 되고 저저
$$ G/H\longrightarrow \mathrm{Gal}(L^{H}/K) $$
는 두 group이 order가 같고 injection이니까 surjection이 되고 bijection이니까 isomorphism이 돼요!! 따라서 Galois group이 \(G/H\)라는 것의 증명도 끝나요.
이를 생각하면, \(k_n/k_0\)의 Galois group을 구할 수 있는데, 반드시 solvable이어야만 해요!! solvable group이란 finite group case에선 적당한 group들
$$ \{e\}=H_0 \subset H_1\subset \cdots \subset H_n=G$$
이 있어서 \(H_i\)는 \(H_{i+1}\)의 normal subgroup이고 \(H_{i+1}/H_i\)가 cyclic group인 거. 이는 저 위에서 \(k_{i+1}/k_i\)가 모두 Galois extension이고 그 Galois group이 cyclic이라서 그래요!!
그럼
$$ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
이라고 한다면 이것의 n개의 zero를
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_n$$
라고 쓸께요. 물론 이 zero들은 \(k_0\)의 algebraic closure 안에 있겠죠?? 그러면
$$ (-1)^i\frac{a_i}{a_0}=\sum_{1\le n_1<\cdots<n_i\le n}\alpha_{n_1}\cdots \alpha_{n_i}$$
가 성립해요. 그냥 비에타 공식. 그렇다면
$$ k_0(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)/k_0$$
이란 field extension을 생각할 수 있고, 이것은 Galois extension이에요!! zero들을 그냥 다 다닥다닥 붙혔으니까. 그리고 이것의 degree는 Galois group을 구하면 되는데, 모든 automorphism은 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)을 그냥 잘 섞을 뿐이에요!! \(p\)를 fix하니까. 그리고 잘 섞는 조작은 당연히 automorphism이니까 그 Galois group은 그런 섞는 조작들의 group인
$$ S_n=\{f:\{1,2,\cdots,n\}\to \{1,2,\cdots,n\}|f\text{ is a bijection}\}$$
가 돼요!! 그리고 이건 \(n\ge 5\)부터 solvable이 아니에요. 그러니까 저런 tower를 찾을 수 없어요!! 이건 많이많이 중요해요
5차방정식의 근의 공식이 있다고 해봐요. 그렇다면 \(\alpha_1\)을 표현할 수 있는 어떤 저저저 조건에 따라 만들어진 field extension들 \(k_n/k_{n-1}/\cdots/k_0\)이 있어서 \(\alpha_1\in k_n\)일 거예요. 그리고 \(k_n/k_0\)는 Galois extension이니까 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_5\)모두 \(k_n\)의 원소일 거예요!! 그러니까그러니까
$$ k_n/k_0(\alpha_1,\cdots,\alpha_5)/k_0$$
이라는 field extension이 있다는 거!! 따라서 \(S_5\)는 어떤 solvable group의 quotient여야 하는데, 그러면 모순이에요!! third isomorphism theorem이라고 불리는 애때문에...
따라서 5차방정식의 근의 공식은 없게 되요!! 3,4차방정식하곤 많이 다른 점이에요.
그럼 3,4차방정식의 근의 공식은 왜 있는 걸까...?? 이건 \(S_3,S_4\)가 solvable group이라서 그래요!! 그러니까 저건 동치관계예요!! 그건 제 라니에 블로그에 cohomology를 써서(...) 증명해놨으니 그걸 보세요