복소해석을 한 사람이라면, 다음 정리를 봤을 거예요.
Theorem. (Liouville's theorem) Let \(f:\Bbb{C}\to \Bbb{C}\) be a bounded entire function. Then \(f\) is a constant function.
증명은 대충 코시의 적분 공식으로, 응용은 대수학의 기본정리 증명하는 걸로(...) 어 내 말투 왜 이래.
그리고 사실 이건 너무나도 많은 걸 의미해요...!!
이제
$$ X=\Bbb{P}^1_{\Bbb{C}}$$
. 그냥 Riemann sphere라고 불리는 이걸 생각하면, 다음이 성립해요.
Theorem. (Liouville) Let \(f:\Bbb{P}^1_{\Bbb{C}}\to \Bbb{C}\) be a holomorphic function. Then \(f\) is constant.
이것은 그냥 Liouvulle's theorem 그 자체예요. \(\infty\)에서 함수가 정의된다는 것과 bounded라는 건 동치니까
locally ringed space를 생각할 거예요. \(X\)가 local하게 \(\Bbb{C}^n\)이랑 같은 애라고, 그러니까 \(X\)의 open covering \(\{U_i\}\)이 있어서
$$ U_i\cong \Bbb{C}^r$$
인 \(C\)에 대해서 우리는 \(f:X\to \Bbb{C}\)가 homolorphic이라는 걸 정의할 수 있어요. 원래 holomorphic 정의가 local하니까 이것도 그냥 local하게 holomorphic이면 되는 거... 그렇다면
$$ \mathcal{O}_X(U)=\{f:U\to \Bbb{C}|f\text{ is holomorphic }\}$$
라고 정의할께요. 그렇다면 \(\mathcal{O}_X\)는 \(X\) 위의 sheaf가 되고, \((X,\mathcal{O}_X)\)를 locally ringed space라고 생각할 거예요!! 각 stalk가 local ring인 건 Taylor series 생각하면 되니까
그렇다면 다음이 성립해요.
Theorem. (Liouville) Let \(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}\) be a \(r\)-dimensional projective space over \(\Bbb{C}\). Then
$$ H^0(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}})=\Bbb{C}$$
.
당연하지만, \(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}\)를 algebraic variety로도 볼 수 있어요. 그러면 이것의 Zariski topology는 원래 해석학으로 만든 topology보다 훨씬 더 open set이 적고요. 그렇다면 Zariski topology로 보는 애를 음... 어떻게 써야 할까. 보통 analytic하게 보는 애에 기호를 붙히는데(...) 아 위에 잘못 썼다 (...) Liouville's theorem먼저 쓰는 게 아니었는데(...) 뭐, 그러면 그냥 앞으로 \(X\)가 algebraic variety over \(\Bbb{C}\)일 때 이것이 analytic topology를 붙힌 애를 \(X^{\mathrm{an}}\)이나 그냥 \(\tilde{X}\)라고 쓰기로 해요!! (무대책)
그렇다면 Zariski topology쪽 애의 structure sheaf의 global section은 원래부터 상수들밖에 없었으니까 Liouville theorem을 이렇게도 쓸 수 있네요??
$$ H^0(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}})=H^0(\tilde{\Bbb{P}}^r_{\Bbb{C}},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}})$$
이제 \(X\)를 algebraic scheme (separated, of finite type) over \(\Bbb{C}\)라고 하고 \(\tilde{X}\)를 \(X\)의 closed point들만 모았고 덤으로 원래 있던 Zariski topology를 던져버리고 \(\Bbb{C}\)의 해석학적 topology에서 induce되는 topology라고 생각할께요. 원래 scheme 정의가 local affine scheme이고 따라서 \(\tilde{X}\)는 local하게 \(\Bbb{C}^r\)꼴이랑 같을 거니까 잘 정의되겠죠??
그렇다면 topological space만 볼 때, \(h:\tilde{X}\to X\)라는 imbedding을 생각할 수 있고, 원래 Zariski topology는 analytic topology보다 open set이 너무 적으니까 이건 continuous function이 돼요. 그리고 \(\tilde{X}\)에 structure sheaf를 하나 붙혀주는데, 위에서도 정의했듯이
$$ \tilde{\mathcal{O}}_X(U)=\{f:U\to \Bbb{C}|f\text{ is holomorphic }\}$$
로. 그렇다면 이건 Weierstrass preparation theorem으로 \(\tilde{X}\) 위의 coherent sheaf가 돼요!! 정확한 증명은 귀찮으니 넘기기로 하ㄱ... 그리고 \(X\)위의 coherent sheaf \(\mathscr{F}\)에 대해서
$$ h^*\mathscr{F}=h^{-1}\mathscr{F}\otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_{X}}\tilde{\mathcal{O}}_X$$
라고 정의할 거예요. 원래 \(\mathscr{F}\)의 section은 뭔가 많이 대수학적이고 다항식들밖에 없는데, \(h^*\mathscr{F}\)의 section은 많이 해석학적이에요!! 그렇다면 위에 있는 Liouville theorem을 다시 쓰면
$$ H^0(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}})\cong H^0(\tilde{\Bbb{P}}^r_{\Bbb{C}},\tilde{\mathcal{O}}_{\tilde{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}}})$$
가 돼요!!
그렇다면 이것은 좀 더 higher한 cohomology에 대해서도 성립해요!! 그냥 Cech cohomology 계산하듯 하는데, 양 옆의 두 cohomology 안에 있는 애들 모두 coherent니까 Cech cohomology로 살짝쿵 바꿀 수 있고, open cover는 뭐 생각없이
$$ U_k=D_{+}(x_k)$$
로 정의하면 되겠지요. 이것들 교집합해도 뭐 cohomology는 코적정(코시의 적분 정리)으로 \(0\)일테니까... 그러면
$$ H^k(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}})\cong H^p(\tilde{\Bbb{P}}^r_{\Bbb{C}},\tilde{\mathcal{O}}_{\tilde{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}}})$$
를 만들 수 있어요!!
이제 Serre twist \(\mathcal{O}(n)\)에 대해서 생각하면,
$$ \mathcal{O}(n-1)\overset{x_j}{\longrightarrow}\mathcal{O}(n)\longrightarrow \mathcal{O}_{H}(n) $$
가 돼요. \(H\)는 그냥 \(x_j=0\)으로 정의되는 hyperplane. 이걸로 long exact cohomology sequence를 생각하면 induction으로
$$ H^k(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}},\mathcal{O}_{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}}(n))\cong H^k(\tilde{\Bbb{P}}^r_{\Bbb{C}},\tilde{\mathcal{O}}_{\tilde{\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}}}(n))$$
까지 얻을 수 있어요. cohomology는 colimit랑 commute하고 덤으로 모든 coherent sheaf는 적당한 \(n_j\)들이 있어서
$$ \bigoplus \mathcal{O}(n_j)\to \mathscr{F}$$
라는 surjection을 만들 수 있으니, 이것의 kernel을 생각하고 long exact cohomology sequence+five lemma+induction을 생각하면 최종적으로 모든 \(X\) 위의 coherent sheaf \(\mathscr{F}\)에 대해서 다음을 생각할 수 있어요!!
Theorem. (Liouville's theorem. final version) For any \(k\) and coherent sheaf \(\mathscr{F}\) over \(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}\), there is a natural isomorphism.
$$ H^k(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}},\mathscr{F})\cong H^k(\tilde{\Bbb{P}}^r_{\Bbb{C}},h^*\mathscr{F})$$
.
이제 \(\Bbb{P}^r_{\Bbb{C}}\)의 closed subscheme \(X\)를 생각하면, 이것에 대해서도 거의 똑같은 증명과정을 거쳐서 다음을 만들 수 있어요!! 이 모든 건 Liouville's theorem때문이죠. 근데 \(X=\Bbb{A}^r_{\Bbb{C}}\)면 Liouville's theorem을 못 쓰게 돼요.
Theorem. (Liouville's theorem, more general version) For any \(k\) and coherent sheaf \(\mathscr{F}\) over a projective scheme \(X\) over \(\Bbb{C}\), there is a natural isomorphism
$$ H^k(X,\mathscr{F})\cong H^k(\tilde{X},h^*\mathscr{F})$$
.
여기에서 projective scheme은 proper morphism \(X\to \mathrm{Spec}\,\Bbb{C}\)가 있는 경우로 generation할 수 있는데, Chow's lemma를 쓰면 쉽게 돼요.
이를 좀 더 Grothendieck스럽게 쓴다면, 다음과 같이 쓸 수 있어요.
Theorem. (Liouville's theorem, Grothendieck version) For any \(k\) and proper morphism between two schemes of finite type \(f:X\to Y\) over \(\Bbb{C}\), there is a natural isomorphism
$$ (R^kf^*\mathscr{F})^{\mathrm{an}}\cong R^k{f^{\mathrm{an}}}^{*}\mathscr{F}^{\mathrm{an}}$$
갑자기 an이라는 이상한 표기 쓴 거 쓴 절 용서해주ㅅ... ㄸㄹㄹ 이거 말곤 좀 더 좋은 표기를 생각 못 했... 그냥 an이라는 것은 모든 걸 analytic하게 topology를 바꿔주겠다는 거예요.
그리고 다음과 같은 가장 많이 중요한 정리가 성립해요!!
Theorem. (The most elegant form of Liouville's theorem) Let \(X\) be a projective scheme over \(\Bbb{C}\). Then category of coherent sheaves over \(X\) is equivalent to category of coherent sheaves over \(\tilde{X}\).
일단 그 functor는 아무리 봐도(...) \(\tilde{{}\!}\)겠고, 결국 증명해야 할 것은
$$ \mathrm{Hom}_{\mathcal{O}_X}(\mathscr{F},\mathscr{G})\cong \mathrm{Hom}_{h^*\mathcal{O}_X}(h^*\mathscr{F},h^*\mathscr{G})$$
하고 모든 \(\tilde{X}\) 위의 coherent sheaf \(\mathscr{F}'\)에 대해서 적당한 \(X\) 위의 coherent sheaf \(\mathscr{F}\)가 있어서
$$ h^*\mathscr{F}\cong \mathscr{F}'$$
라는 거예요. 하나는 그냥 tensor product 안쪽으로 꾸역꾸역(...) 집어넣고 위에서 증명??한 거 쓰면 되겠고, 또 하나는 그저 twisting sheaf에 대해서 먼저 증명해준 다음에 또 그걸(...) 써서 잘 되었다는 이야기라서 증명은 생략하겠어요 (!!) 심심하면 직접 해봐요 (??)
뭔가 뒤로 갈수록 딴세상으로 가는 느낌인데(...) 이것들의 본질은 결국 Liouville's theorem이에요!! zero cohomology를 Liouville's theorem으로 계산할 수 있었기에 결국 이렇게 된 거예요. cohomology를 하다 보면 결국 일반적인 cohomology에 대한 걸 first cohomology와 zeroth cohomology로 떨어트리는 경우가 참 많은데, 이건 어떻게 보면 당연한 거예요. cohomology의 시초가 된 de Rham theorem도 결국 정적분의 기본정리에서 시작하잖아요?? Leray spectral sequence니 long exact cohomology sequence니 Kun어쩌구니(미지는 아직 이 사람 이름을 못 외웠다.) 결국 cohomology 계산의 본질은 zeroth와 first에 있다는 거라고요?? (말투 이상해짐) etale cohomology도 보면 curve들의 zeroth, first cohomology부터 계산하고 이것들을 마구마구 patch하는 걸로 general한 걸 증명하고. 여기선 가장 중요한 zeroth cohomology를 Liouville theorem으로 증명했잖아요??
아, 이것들 Liouville's theorem이라고 안 부르고 Serre's GAGA (Algebraic Geometry and Analytic Geometry) (Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique)라고 부르는 모양이에요 (??) (이게 진짜 이름)